- O colega Euvaldo, de Aracajú-SE, gostaria de saber como apareceu, quem usou pela primeira vez e com que finalidade, a notação n! para o fatorial de n.

RPM:

Conforme F. Cajori em sua obra “The History of Mathematical Notations”, o primeiro matemático a usar a notação n! foi Christian Kramp, de Strasbourg, França, em 1808 no seu livro “Éléments d’Arithmétique Universelle”. Ele mesmo justifica: “O emprego freqüente que faço da Análise Combinatória na maior parte das minhas demonstrações tornou indispensável esta notação”. Antes e depois de Kramp, outras notações foram usadas como por exemplo M=1.2.....m, por Euler em 1751, ou

[p]n = p (p – 1) (p – 2) ... (p – n + 1),

por Vandermonde em 1772, ou 

5* = 5.4.3.2.1, por Basedow em 1774,

e, =1.2....n, por alguns matemáticos ingleses e americanos no século passado, ou m’ = 1,2.....m, por Weierstrass em 1841. Em 1915, o Council of the London Mathematical Society recomendou, afinal, a notação n! em vez de  e, a partir de então, a notação n! foi a que se impôs, mesmo por conveniências de impressão.

 

- O colega Vital L. Campos, de Vitorino Freire-MA, pede à RPM que responde à seguinte questão que lhe foi proposta por um aluno:

“Embora o produto seja geralmente maior do que a soma, como no caso de
3 x 3 = 9 e 3 + 3 = 6, têm-se 2 x 2 = 2 + 2 = 4 e 1 x 1 = 1 menor que 1 + 1 = 2. Qual é a regra geral?”


RPM:

Se m = 1 e n 1, temos:

m . n = 1 . n = n   e   m + n = 1 + n > n,

logo, quando um dos números for 1, a soma de ambos será maior do que seu produto. Se
m + n = 2, o produto empata com a soma. Vejamos que, em todos os demais casos, se tem o produto maior do que a soma, como previa seu aluno. Com efeito, se m, n 2, podemos escrever: m = 2 + m’ e n = 2 + n’, com m’ 0 e n’ 0 e, então:

m × n = (2 + m’) (2 + n’) =

= 4 + 2 (m’ + n’) + m’n’ =

= (2 + m’) + (2 + n’) + (m’ + n’ + m’n’)

m + n,

sendo que a igualdade só será válida quando m’ + n’ + m’n’ = 0, isto é, quando m’ = n’ = 0.

 

- Os colegas Nivaldo, de São Paulo-SP e Manuel Batista de Recife-PE, perguntaram sobre recionalizantes para expressões que apresentem nos denominadores índices de raízes ou número de parcelas maior que 2, como por exemplo:

  ;                ;

RPM:

Um fato comum a todas estas expressões é que elas possuem como denominadores um número irracional algébrico (v. RPM, nº 1 pag. 14 – 15), isto é, se a é qualquer um destes denominadores, existe um polinômio P com coeficientes inteiros do qual a é raiz, tal que P não tenha raiz nula (isto é, seu termo constante é não nulo), ou seja:

P(y) = a0 + a1y ... + an–1 yn-1 + an  yn, com a0 0 e P(a) = 0.

Tem-se então, que . = a0 0, onde

= - (a1 + a2 + ... + ann-1).

Como a0 é um inteiro, o número b é um fator racionalizante.

Resumindo: dado um número irracional algébrico a, existe um número b obtido como somas de potências de a multiplicadas por inteiros (isto é, b é uma combinação linear de potências de a a coeficientes inteiros) tal que ab seja um inteiro não nulo. Embora isto resolva o problema teórico, não o resolve na prática, pois nem sempre é fácil achar um tal polinômio P.

3 – 6 2 + 12 - 8 = 6 ou (2 – 6 + 12) = 14 e, então

  .

Este processo apresenta complicações maiores nos demais casos.

 

Um outro processo, que se aplica aos 3 primeiros exemplos dados acima, é o seguinte: a é uma soma de expressões do tipo aixi, onde ai e xini são inteiros. Procura-se, então, um polinômino nos xi, com coeficientes inteiros, que multiplicado por a dê um novo polinômio nas variáveis xini. Usemos este processo para a resolução do exemplo 1, em que . Façamos  e  e procuremos polinômios com coeficientes inteiros Q e R tais que:

.

Ora:

 tem-se então, como fator racionalizante,

O caso 3 é análogo a este, de vez que

e, com processo análogo, acha-se

 

No  exemplo 4, em que

podemos utilizar um outro processo, verificando que

Tem-se então que

Este é um processo que pode ser aplicado quando  for uma combinação linear (a coeficientes inteiros) de raízes quadradas.

Quanto ao exemplo 5, entretanto, não encontramos um processo razoável. O processo que se aplica aos 3 primeiros casos, por exemplo, nos levaria a um sistema com cerca de 30 equações lineares nos coeficientes (por considerações teóricas, sabe-se que o sistema admite soluções).

   

- Uma colega de Anápolis-GO, pergunta como poderá explicar aos alunos porque  é irracional, sem saber  o seu valor certo.

 

RPM:

Para demonstrar que  não é racional, não basta calculá-lo com um “número grande” de casas decimais, pois, ainda assim, não saberemos se ele é periódico (e, portanto, racional) ou não. Devemos procurar uma demonstração que não dependa da representação decimal de . Analogamente ao que é feito no artigo sobre Grandezas Incomensuráveis (pág. 6) para provar que  é irracional, podemos supor que (p/q)3 = 10 com p e q naturais. Teríamos, então, p3 = 2 × 5 × q3 o que nos levaria a um absurdo quando considerássemos a decomposição em fatores primos de ambos os membros desta igualdade: no 1o. membro, o número de fatores 2 é um múltiplo de 3 (que pode ser 0), enquanto no 2o. membro o número de fatores 2 será um múltiplo de 3 mais 1.

Este mesmo tipo de raciocínio serve para provar que raízes n-ésimas de números naturais ou são inteiros ou são irracionais. De fato, suponha que  seja da forma p/q, q ¹ 0. Considerando os desenvolvimentos em fatores primos de p, q e M e a relação pn = M× qn, chega-se a um absurdo se, no desenvolvimento de M, houver algum primo que apareça um número de vezes que não seja múltiplo de n. Logo M é uma potência n-ésima de um número inteiro e  é um inteiro.


- Um outro colega de Maranguape-CE, pergunta como explicar aos alunos a solução do seguinte problema: “Num plano têm-se duas retas r e s concorrentes. Traçam-se 4 paralelas a r e 9 paralelas a s. Qual o número de paralelogramos determinados?”

A resposta é 450.
 

RPM:

Vamos considerar o caso geral, supondo que os feixes de paralelas determinados pelas retas r e s têm respectivamente n e m retas, estando incluídas nesses totais as duas retas r e s. (No caso particular do seu problema, teríamos, n = 5 e m = 10.) Observemos a seguir que um paralelogramo ficará determinado quando escolhermos duas retas quaisquer do feixe determinado por r e duas outras retas quaisquer do feixe de paralelas à reta s.

Os pontos de encontro dessas retas determinarão os vértices do paralelogramo. Como existem Analogamente, a escolha de um par de retas no feixe determinado por s poderá ser feita de quer par escolhido no segundo para determinar um paralelogramo, o total de  

 

O raciocínio desenvolvido acima, pode ser ilustrado na sala de aula, com um caso particular simples, por exemplo, n = m = 3, onde será possível mostrar os alunos os 9 paralogramos determinados.