Maria Terezinha Gaspar
Universidade de Brasília

Várias vezes o Departamento de Matemática da Universidade de Brasília já ofereceu cursos  de verão para alunos do 2.º grau. Pretendemos relatar aqui os resultados dessa experiência no curso oferecido no verão de 1983, que esteve a nosso cargo.

O objetivo desses cursos tem sido o de estimular vocações matemáticas em alunos que ainda estejam cursando a escola de 2.º grau. Ele é estruturado com a finalidade única de ensinar Matemática e com características que não atraiam alunos que estejam procurando antes de cursinho que os prepare para o vestibular.

A seleção dos alunos foi feita pelas próprias escolas. O Departamento de Matemática da Universidade constatou as várias escolas, oficiais e particulares do Distrito Federal, anunciando o curso e pedindo-lhes que indicassem, no máximo, dois alunos cada uma.

O curso, intitulado “Problemas – Algumas Técnicas de Soluções”, teve cinco semanas de duração, com seis horas-aula semanais e contou com a participação de 26 alunos das 2.ª e 3.ª séries do segundo grau.

O objetivo específico do curso era desenvolver nos alunos certas atitudes que pudessem ajudá-los a encontrar soluções para problemas onde seus conhecimentos de Álgebra e Geometria pudessem ser aplicados, bem como despertar a criatividade dos alunos na solução desses problemas.

Dividimos o curso em duas partes:

1.      Resolução de problemas de construção  geométrica com o auxílio de régua e compasso.

2.      Resolução de problemas com o auxílio da Álgebra.

Nas duas partes do curso usamos os livros “A Arte de Resolver Problemas” e “Mathematical Discovery”, ambos de autoria de G. Polya. O primeiro desses livros serviu como auxiliar na tentativa de levar o aluno, através de perguntas sugestivas, a elaborar um plano para resolver os problemas propostos. O segundo livro mencionado, apesar de ainda não ter sido traduzido para o Português, é de fácil entendimento e apresenta uma variada lista de problemas a nível de 2.º grau e sugestões de como professor e  aluno podem chegar às soluções desses problemas.

Nesta primeira parte do curso constatamos, logo no início, a falta de familiaridade da maioria dos alunos com a Geometria Euclidiana (mediadas de triângulos, bissetrizes, etc). Pudemos também detectar, não apenas nesta parte, mas em todo o curso, a passividade dos alunos diante de soluções apresentadas pelo professor ou encontradas nos livros. Durante o curso propusemos alguns problemas cujas soluções já eram do conhecimento de alguns alunos e notamos que esses alunos não procuravam encontrar novas soluções, mas se restringiam a apresentar a solução já conhecida. Constatamos, porém, através de perguntas, que os alunos não sabiam justificar as etapas das soluções por eles mesmos apresentadas e ficavam surpresos diante da necessidade de justifica-las.

Dentre os problemas discutidos na primeira parte do curso podemos citar:

- construir um triângulo sendo dadas as medianas;

- circunscrever um círculo num triângulo dado;

- inscrever um quadrado num triângulo dado, de modo que os quatro vértices do quadrado fiquem sobre os lados do triângulo

- construir um paralelogramo conhecendo um lado e as duas diagonais.

- inscrever um círculo num triângulo dado;

- desenhar um círculo tangente a duas retas paralelas dadas e passando por um ponto P, entre elas, dado.

- Nesta parte do curso falamos um pouco sobre Descartes e sua idéia que a solução de qualquer problema reduz-se à solução de uma equação algébrica. Procuramos fazer ver os alunos que usam o método de Descartes na solução de problemas práticos através de sistemas de equações lineares. Apresentamos problemas de diversos tipos.

Abaixo damos exemplos de alguns problemas:

- Um comerciante tem dois tipos de nozes. Uma custa Cr$ 900.00 o quilo e a outra Cr$ 600.00 o quilo. Ele deseja fazer 50 quilos de uma mistura que custe Cr$ 720.00 o quilo. Em que promoção deve misturar os dois tipos de nozes?

- Um avião-patrulha voa a 292 Km/h em ar calmo. Ele transporta combustível para 4 horas de vôo seguro. Se o avião decolar e, na ida, voar sempre contra um vento de 32 Km/h, a que distancia pode voar e retornar em segurança?

- Três máquinas gastam 3, 4 e 6 horas respectivamente, para engarrafar uma certa quantidade de litros de guaraná. Em quanto tempo as três máquinas juntas engarrafam esta mesma quantidade de litros?

- Uma região triangular é formada por um segmento de reta AB e dois arcos de circulo AC e BC centralizados em B e A respectivamente. Inscrever nesta região triangular um circulo que tangencie as três linhas do bordo.

- Na figura abaixo, calcular a área da região que é interior à circunferência maior e exterior às circunferências menores sabendo-se que: as três circunferências se tangenciam duas a duas; seus centros estão sobre uma mesma reta, r é o raio da circunferência maior e t, o comprimento do segmento AB.

- Em um tetraedro que possui um vértice tri-retangular O são dadas as áreas A, B e C das três faces que se interceptam em O. Achar a área D da face oposta a O.

- Com apenas dois cortes numa cruz formada por cinco quadrados, divida-a em três partes que, arrumadas de modo conveniente, formem dois quadrados.

- Um homem anda ao longo de uma estrada, sobe uma ladeira e retorna ao ponto de partida pelo mesmo caminho. Ele faz todo percurso em 5 horas e anda 4 km/h na estrada, 3 km/h subindo a ladeira e 6 km/h descendo a ladeira. Achar a distância percorrida.

Observamos, nesta 2ª parte, que os alunos não tinham dificuldade na resolução dos sistemas de equações lineares. A dificuldade estava em traduzir o problema da linguagem usual para a linguagem algébrica.

Quanto à maneira de apresentar o curso, achamos melhor que, ao invés de aulas expositivas, os alunos trabalhassem em grupos. Com grupos de no máximo quatro alunos eles poderiam trocar idéias e se conhecerem melhor, já que vinham das mais variadas escolas e, portanto, tinham experiências diversas.

No início de cada aula os alunos recebiam uma lista de problemas e algumas questões  que poderiam ajudá-los na elaboração de um plano para resolvê-lo (Qual a incógnita? Quais os dados? Que relação existe entre a incógnita e os dados? É possível resolver parte do problema? etc). No final da aula ou na aula seguinte eles apresentavam as soluções encontradas.

No final de cada parte do curso aplicamos uma prova e, dentre os 26 alunos matriculados, seis desistiram antes da primeira prova e os demais foram aprovados.

Observamos que os alunos, mais para o final do curso, já começavam a questionar as diversas etapas das soluções dos problemas propostos, se preocupavam em justifica-las bem como procuravam encontrar suas próprias soluções.