O professor Raymundo Nonato Onofre Tavares nos mandou um artigo expondo um processo interessante para estudar a variação de sinal de expressões do tipo:

E = (x –x₁) (x – x₂) ... (x – x_n)

ou

que passamos a descrever:

Vamos supor, inicialmente, x₁ < x₂ ... < x_n e dispor estes números no eixo real.

que ficará dividido em n + 1 intervalos abertos, sendo o primeiro e o último, ilimitados

- Para um número x pertencente ao último intervalo (o que está mais à direita), as diferenças  x - x₁ , x – x_{2, ...,} x – x_n serão todas positivas e, portanto, para estes valores de x, E > 0.

- Para um numero x no intervalo imediatamente anterior ao ultimo (I_n, na figura), x – x₁, x - x₂, ..., x – x_n-1 continuarão positivos, porém x – x_n tornar-se á negativo resultando para estes valores de x, E < 0.

- Para um número x no intervalo imediatamente anterior a este ultimo (I_n-1, na figura), x – x₁, x – x₂, ... , x – x_n-2, continuarão positivos mas, x - x_n e x – x_n-1 ficarão negativos, resultando E > 0. 

- Procedendo desta maneira, vê-se que há uma alternância nos sinais da expressão E cada vez que os valores de x passam de um intervalo para o intervalo vizinho, obtendo-se, para o sinal de E, o seguinte esquema:

Exemplos

1) Estudar a variação de sinal da expressão:

  f (x) = (x + 1) × (x + 2) × (x - 3) × (x - 4)

f (x) > 0 para
x < -2 ou –1 < x < 3 ou x > 4
f (x) < 0 para
- 2 < x < -1 ou 3 < x < 4

2) Estudar a variação de sinal da expressão

  f (x) > 0 quando
-3 < x < -2 ou –1 < x < 2 ou x > 3
f (x) < 0 quando
x < -3 ou –2 < x < -1 ou 2 < x < 3

3) Estudar a variação de sinal da expressão

Variação de sinal da expressão g (x)

Por conseguinte

f (x) > 0 onde g (x) < 0, isto é, para

f (x) < 0 onde g (x) > 0, isto é, para

Aplicações:

1)      Resolver a inequação

(x –2) × (x – 5) × (x –7) > 0

Resposta: 2 < x < 5 ou x > 7

2)      Resolver

Resposta: x -2 ou –1 < x 1 ou 3 x < 5.

Este processo pode ser facilmente estendido para expressões envolvendo trinômios ax² + bx + c, com  D = b² – 4 ac > 0, pois estes podem ser fatorados em um produto de binômios distintos.

3)      Resolver a inequação:

isto é

Resposta:  x < - 5 ou –4 < x < -3 ou –1 < x < 2 ou 3 < x < 8.

Finalmente, devemos examinar o caso em que os números x₁ e x₂,..., x_n não são todos distintos.

Suponhamos que o binômio x – x₁ ocorra k vezes na expressão. E, isto é,

E = (x – x_i)^k F.

- Se k for par, para todo x ¹ x_i , sinal de E = sinal de F e este último será obtido pelo processo já descrito. Por exemplo, estudar a variação de sinal de

f (x) = (x + 1)  (x –2) . (x – 3) . (x – 5)⁸

Variação de sinal de

(x +1) × (x – 2) × (x – 3)

f (x) > 0 quando

-1 < x < 2 ou (x > 3 e x ¹ 5)

f (x ) < 0 quando

x < -1 ou 2 < x < 3

Se k for ímpar, o sinal de (x - x_i)^k será igual ao de (x - x_i ) e para estudar o sinal de 
E = (x - x_i )^k F, bastará estudar o sinal de (x - x_i )F.

Exemplos: Estudar a variação de sinal de

f (x) = (x + 2) × (x + 3)⁵ × (x – 5) × (x – 8)

Variação de sinal de

(x + 2) × (x +3) × (x – 5) × (x –8)

f (x) > 0 para

X < -3 ou – 2 < x < 5 ou x > 8

f (x) < 0 para

 -3 < x < - 2 ou 5 < x < 8

Lembrando que o sinal de um trinômio do 2º grau ax² + bx + c é igual ao sinal de a quando 
D < 0 e ax² + bx + c = a (x – x_i)² quando D = 0, o processo descrito permite estudar a variação do sinal de expressões envolvendo produtos e quocientes de quaisquer polinômios do 1º e 2º graus.

NR: O artigo enviado pelo Prof.º Raymundo N. O. Tavares era muito mais rico em explicações e exemplos, mas dada sua extensão, não pode ser publicado na íntegra.