206.   Suponha que cada ponto de um plano seja pintado de uma cor escolhida entre três cores dadas. Prove que existem dois pontos de mesma cor cuja distância é k, sendo um número real dado.  

207.   Um rapaz esqueceu o último algarismo do telefone da namorada e resolveu tentar falar com ela escolhendo ao acaso o último dígito. Se ele está num telefone público e só tem duas fichas, qual é a probabilidade de que ele consiga conversar com a namorada?  
 

3. Obtenha a palavra MU começando com a palavra MI e por uma seqüências de aplicações das seguintes regras:

a)        toda palavra pode ser triplicada.

b)        uma letra U pode ser substituída por duas letras I seguidas (II).

c)        quatro letras I seguidas podem ser eliminadas.

d)        depois de uma letra M pode ser colocada uma letra U.

e)        se em uma palavra aparece IMU podemos eliminar a letra M.

1. Em homenagem ao “PENTA” vamos pintar os lados de um pentágono regular com as duas cores verde e amarelo. De quantas maneiras diferentes podemos fazer isso? Considera-se que duas pinturas são iguais quando é possível obter uma a partir da outra através de um movimento rígido no plano.  

(Ver respostas na seção "O leitor pergunta")

198.  Para cada número natural, n, n 0,determinar os inteiros  a,  b,  c  e  d,  ,  tais que  .

Solução:

Sejam  a,  b,  c,  d  inteiros,  ,  com 

Para    a única possibilidade é   e para    temos duas possibilidades  e .

Consideremos  .

Quanto a paridade dos números  a,  b,  c  e  d, pode acontecer: todos são pares, todos são ímpares ou dois deles são pares e dois ímpares.

Não podemos ter todos ímpares pois:

,  ,    e    implica

ou, , o que é impossível, uma vez que  ,  ,    e    são todos pares.

Também não podemos ter dois pares e dois ímpares pois: 

  implica

, de novo, uma igualdade impossível.

Assim, para  ,  devemos ter os números  a,  b,  c  e  d  todos pares:          Logo,

  ou

Repetindo o processo, agora para os números  x,  y,  z  e  w,  obtemos:

       e  ,  ou          e  ,  com 

Se  n  é ímpar,    repetindo o processo anterior  k  vezes, podemos escrever

       e    com 

  donde

  e   

Se  n  é par,   repetindo o processo    vezes, temos

          com 

,  donde

  ou    e

  ou 

(Solução adaptada da enviada por Carlos Alberto da Silva Victor, RJ.)
 

Solução:

De QR = PB = AS,  temos, AP = SB = x. Se AB = c, BC = a e AC = b, da semelhança dos   de  SPQR  é dada por área AQS – área APQ,

                                (Solução de Milton Dini Maciel, SP.)

200.    Seja  f:  IN Z  uma função tal que

i)   se  ,  .

ii)   se  ,  .

Demonstre que, para qualquer  IN,  existe  Z,    tal que  .  Calcule  .

Solução:

Para qualquer  IN,  existe  Z,    tal que 

Se n = 2^k+1 1, então por   i) temos   f(n) = 0  e, neste caso,   f(n) + n = 2^k+1 1 .

Se  2k n < 2^k+1 1   fazemos:

Do último termo, observando que  2^k+1 2^k = 2^k ,  temos  f(2^k) ⁼ 2^k 1 ,  de onde  f(2¹⁹⁹⁰) = 2¹⁹⁹⁰ 1.

Para cada  n,  2^k n < 2^k+1 1   temos  n = 2^k+1 r ,  com  1 < r 2^k   logo,  f(n) = r 1 = 2^k+1 n 1,  o que prova  f(n) + n = 2^k+1 1 .  
 

Solução:

O hexágono decompõe-se em sete polígonos, sendo quatro triângulos e três quadrados.

As áreas dos quadrados são  169,  196  e  225.

Por outro lado, temos:  med =  med ,  o que implica sen = sen e, então,

2(área = AB^.BC^.sen = EB^.BF^.sen = 2(área EBF) . Logo, área = área

De modo análogo mostra-se que as áreas dos quatro triângulos são iguais.

Usando a fórmula de Heron para calcular a área ABC  obtemos  Assim, a área do hexágono é igual a  926.