Painel I:
Uma demonstração de Euclides
 

Arthur Almeida
UFPA, Castanhal, PA
Arthur@ufpa.br

 

     Um belo teorema de Euclides

Certamente todos conhecemos o famoso teorema de Euclides, (Elementos, Livro IX, Prop. 20), sobre a infinidade de números primos. O teorema e sua belíssima demonstração já foram apresentados e discutidos em artigos da RPM 11, pág. 05 e RPM 19, pág. 26.

Eventualmente, poderíamos pensar que, a partir de um certo ponto, todos os números inteiros seriam compostos. Tal, entretanto, não é o caso, conforme nos garante o teorema em apreço. Vamos relembrar o argumento da demonstração de Euclides:

Suponhamos que exista somente uma quantidade finita de números primos, sendo  p  o maior deles. Consideremos, agora, o número    o produto de todos os primos existentes, acrescido de uma unidade. Esse número, ou é primo, ou composto. Se for primo, teremos encontrado um número  E,  primo,  obviamente maior que  p.  Se E for composto, pelo Teorema Fundamental da Aritmética,  E  será fatorado por um primo diferente de  2, 3, 5, ..., p,  pois ao ser dividido por qualquer um destes deixa resto 1.  Em qualquer caso, teremos encontrado um novo número primo, contra a hipótese inicial. Isso significa, como diz Euclides, que a quantidade de números primos é maior que qualquer quantidade previamente dada.  
 

     O que a demonstração de Euclides não demonstra?  

Muitos estudantes do teorema de Euclides acham, inicialmente, que um número como  ,  usado na demonstração, é sempre primo, ou ainda que todos os números primos existentes têm essa forma. Nada disso é verdade. Vamos calcular os números       etc. através da execução de um pequeno programa feito no Mathematica (da Wolfram Research, Inc.):

Primo(s) gerado(s)

3

3

7

7

31

31

211

211

2311

2311

30031= 59´509

59; 509

510511 = 19´97´277

19; 97; 277

9699691= 347´27953

347; 27953

223092871

317; 703763

6469693231

331; 571; 34231

200560490131

200560490131

7420738134811

181; 60611; 676421

304250263527211

61; 450451; 11072701

13082761331670031

167; 78339888213593

Na primeira coluna, apenas os números em negrito são primos; os outros são compostos, mas são fatorados por primos “novos” em relação aos obtidos nas linhas anteriores, como pode ser visto na segunda coluna.

Observamos que os números    estão em ordem crescente, podem ser primos ou compostos e não fornecem todos os números primos menores que um já obtido.

 

Referência bibliográfica:

HEATH, T. The thirteen books of Euclide’s Elements. NY, Dover , 1956.

 

 

Painel II:  
É possível construir um triângulo cujos lados estejam em progressão geométrica de razão q ?

Paulo A. da Mata Machado
Belo Horizonte, MG

A resposta é: depende da razão,  q,  da progressão. Se, por exemplo, ,  temos o triângulo equilátero. Se  ,  temos os triângulos de ângulos internos  87,22°,  53,04°  e  39,74°. Se, porém, , não há solução.

Como se chega a essa conclusão? Muito simples. Podemos, colocando os lados do triângulo em ordem crescente e considerando um triângulo semelhante, admitir que a solução seja um triângulo de lados  1,  q  e  ,  sendo  .  : Em um triângulo, um lado é menor que a soma dos outros dois, portanto,  .

A solução dessa inequação do 2o  grau é muito conhecida, pois as raízes são iguais à maiores ou iguais a 1, temos

Determinado o intervalo de variação de  q,  vamos determinar quais são os ângulos internos do triângulo, usando a lei dos cossenos,

,

sendo  o ângulo interno formado pelo maior e pelo menor lado do triângulo.

Dado  q,  podemos determinar qual será o ângulo entre o menor e o maior lado do triângulo pela equação (2). Esse ângulo tem também uma limitação de valores. Para determinarmos qual é essa limitação, vamos rescrever a equação da seguinte forma:

Temos uma equação bi-quadrada, que somente terá solução se  para  

ou, equivalentemente    Como é ângulo do triângulo, não pode ser maior que 90° e, portanto  .

Há um caso particular que ainda não foi discutido. Quais são os ângulos internos de um triângulo retângulo cujos lados estejam em progressão geométrica e qual é a razão dessa progressão?

Para triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras:


Consequentemente, os ângulos internos do triângulo retângulo que tem os lados em progressão geométrica são  90°,  51,83°  e  38,17°.

 

 

Um enigma proposto por ADA LOVELACE  

Em que ano teve lugar esta conversa? Em que ano nasceu Ada BYRON?  

Ada LOVELACE era o nome de casada de Ada BYRON, filha do famoso poeta inglês Lord BYRON.

Esta mulher do século XIX (toda a sua vida decorreu durante esse século) foi uma das mulheres mais sobressalientes da História da Matemática, famosa sobretudo pelos seus trabalhos com Charles BABBAGE na invenção da sua máquina de calcular.

Certo dia, ao perguntar-se-lhe pela sua idade, ela respondeu “Se trocarmos a ordem dos seus dois algarismos e elevarmos ao quadrado, obtem-se justamente o ano em que estamos”.

 

Retirado do Jornal de Mathematica Elementar no 205, 15/02/02. Lisboa, Portugal.