Valdir Vilmar da Silva
IME - UFG, Goiânia, GO

Quando se esboça o gráfico de uma função    apenas marcando, em um sistema de coordenadas, uma seqüência qualquer de pontos    corre-se o risco de escolher mal os pontos, trabalhando demais sem necessidade ou então deixando de perceber aspectos importantes da curva.

Por exemplo, no caso de uma função afim, isto é, do tipo    pode-se deduzir que o seu gráfico é uma reta (ver [1]) e, portanto, bastam dois pontos para determiná-lo inteiramente.

Para uma função polinomial do segundo grau, ou seja,    com    pode-se deduzir que o seu gráfico é uma parábola cujo eixo é a reta “vertical” 

Mas mesmo sem utilizar esses conhecimentos geométricos, o processo de completar o
 curva que representa o gráfico de  f.


 um cálculo direto mostra (verifique) que    para qualquer  h  (ver figuras).

O objetivo deste artigo é mostrar que um fato semelhante pode ser encontrado em gráficos de funções polinomiais de terceiro grau, o que não é comum ressaltar.

No caso de polinômios do terceiro grau, ou seja,    com    começamos por “completar o cubo”, processo análogo ao de “completar o quadrado” utilizado nos polinômios do segundo grau. Para isso, fazemos:

Este resultado diz que  P  é o ponto médio do segmento de extremos   e 

Ou seja, o gráfico de  f  é simétrico em relação ao ponto  P.  Observe que, no caso do segundo grau, tínhamos uma simetria axial (em relação a uma reta); no terceiro grau, temos uma simetria central (em relação a um ponto).

 

Exemplos ilustrativos

1. O gráfico de    é simétrico em relação ao ponto    Logo, no esboço do gráfico, uma vez marcado, por exemplo, o ponto    (que corresponde a  ),  obtém-se imediatamente o outro ponto do gráfico 

Marcando-se    obtém-se o ponto    e assim por diante.

2.      Se  f(x) = x3 + 6x211x + 4,  então   f(x) =(x3 6x2 + 12x x 8 + 4) = [(x 2)3 (x - 2) + 2] sendo o gráfico simétrico em relação ao ponto  P = (2;2).

Logo, se marcarmos o ponto   , teremos imediatamente o ponto  ; se marcarmos o ponto  , teremos imediatamente o ponto    e assim por diante.

 

Referências bibliográficas

[1] Lima, E. L. Coordenadas no Plano. IMPA-VITAE, 1992.

[2] Lima, E. L. et al. A Matemática no Ensino Médio, vol. I. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 1996.