O colega Ruy Carlos Miritz, de Caxias do Sul, RS, escreve-nos sugerindo uma
cálculo do produto de duas frações e sendo a divisão a operação inversa da multiplicação, ele Entretanto esses números e podem não ser inteiros. Daí a sugestão do colega: ocorre se multiplicarmos numerador e denominador pelo produto  cd.

O que se obtém é a regra que, em geral, é transmitida aos estudantes sem qualquer explicação:

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RPM: Essa nos parece ser mais uma justificativa interessante para a regra da divisão de uma fração por outra, tema de uma das primeiras perguntas que chegaram à Revista em 1983 e que foi respondida na RPM 3, págs. 40-42. Lá o leitor poderá encontrar duas outras justificativas da mesma regra.

O colega Gilder Mesquita, de Pernambuco, envia-nos, entre outras colaborações, as questões de um concurso para professor de Matemática no curso fundamental da rede pública da cidade de Olinda, PE e cópia da contestação que ele e uma colega apresentaram à banca examinadora. A pendência refere-se a 9 dentre as 30 questões de conhecimento específico. São questões de múltipla escolha com uma única resposta correta. Dentre as questões falhas, destacadas pelos colegas, transcrevemos os 4 testes que apresentam duas alternativas corretas

Questão 17: Sendo a e b números inteiros naturais diferentes de zero sobre o máximo divisor comum (mdc) e o mínimo múltiplo comum (mmc), é incorreto afirmar que

A)    mdc(a, b) = 1 a e b são primos entre si.

B)     mmc(a, b) = ab a ou b é ímpar.

C)    mmc(a, b) = b b é múltiplo de a.

D)    mdc (a, b) = a a divide b.

E)    [mdc (a, b)] . [mmc (a, b))] = ab a e b são primos entre si.

(São válidas as alternativas B e  E. O colega pede a anulação desta questão por não ter resposta única)

Questão 27: Dentre as opções abaixo, assinale a afirmativa incorreta.

A)  Se A e B são conjuntos finitos e não vazios e, A é um subconjunto próprio de B então, não pode existir uma bijeção .

B) Seja X um conjunto finito. Uma função  é injetiva se, e somente se, é sobrejetiva.

C)  Sejam A, B e X conjuntos finitos e não vazios. Se  e     são bijeções, então

D)  Se A e B são conjuntos finitos e não vazios:  é injetora se, e somente se, o conjunto imagem de f é igual ao conjunto domínio de f.

E)  Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios.  é uma bijeção se, e somente se,  f é uma função sobrejetora e injetora.

(Da maneira como estão enunciadas as alternativas, a resposta é C e D. O missivista acredita que na alternativa C, o que se pretendia era afirmar que o número de elementos de A é igual ao número de elementos de B.)

Questão 38: Dentre as opções abaixo relacionadas sobre o número z pertencente ao conjunto dos números complexos, assinale a afirmativa incorreta.

A)    Se  então o módulo de z é igual a um.

B)     Se  então o inverso de z é igual a .

C)    Se  então o módulo de z é igual a 2.

D)    Se  então z = 3  (cos/4 + i ^. sen/4 )

E)     Se  então o seu quadrado é igual a  .

(Ele observa que a resposta seria E como indicado no gabarito se, na alternativa C,  z fosse igual a ).

Questão 39: Marque a afirmativa incorreta.

A)   As retas  e  são paralelas.

B)   As retas  e  são perpendiculares.

C)  A reta que passa pelo ponto  e tem inclinação igual a 4 possui uma equação dada por

D)  Os pontos      e  são vértices de um quadrado cuja diagonal tem comprimento igual a 578 unidades de comprimento.

E)   Os pontos      e  são vértices de um retângulo.

(As afirmativas D e E são incorretas.)

RPM: Reconhecemos ser difícil evitar completamente os erros em provas com testes de múltipla escolha. O que nos chamou atenção é que os quatro testes falhos acima pediam que se assinalasse a afirmativa incorreta.

Tais testes obrigam a banca a elaborar  4  proposições verdadeiras e  1  falsa, enquanto que nos testes que pedem a alternativa correta, a banca precisa elaborar  4  proposições falsas e  1  verdadeira.

Cometendo-se um pequeno erro numa proposição verdadeira é bem possível que ela fique falsa (invalidando um teste do primeiro tipo), enquanto que um pequeno erro numa proposição falsa dificilmente a transformará numa verdadeira. Isso sugere que questões que pedem a afirmativa incorreta requerem da banca elaboradora um cuidado redobrado.  

O colega Roberto Stenio A.C. de Albuquerque, escreve-nos preocupado com a participação de um professor de Matemática em programa de televisão, mostrando um processo de extração de raiz quadrada de números de 4 algarismos, com promessa de métodos que facilitam a aprendizagem. Em sua carta o colega manifesta sua preocupação com a influência negativa que tal exposição possa ter sobre nossos estudantes.

RPM: De fato, o referido programa chamou a atenção de vários de nossos alunos. Vale a pena aproveitar a curiosidade que ele desperta para mostrar aos estudantes a necessidade de verificar a validade dos processos utilizados nos cálculos e para fazê-los perceber que a compreensão de um processo vai além de saber desenvolvê-lo.

No caso em questão, o procedimento pode levar a um resultado falso. Tanto que a verificação do resultado faz parte do processo todo. Não assistimos ao programa nem conseguimos acessá-lo na Internet, mas uma de nossas alunas levou o problema para a sala de aula. Tratava-se de encontrar a raiz quadrada de 1024. O professor na TV abandonava o algarismo da dezena e tirava a raiz do algarismo da unidade. O algarismo da unidade da raiz seria este ou a diferença entre ele e 10. A seguir, tirava a raiz aproximada das centenas, no caso, 10, obtendo 3 para algarismo da dezena da raiz procurada. A escolha entre 32 e 38 ficava por conta da comparação das centenas do número de partida com o produto do 3 (algarismo da dezena da raiz) por seu sucessor. Se 10 (centenas do número de partida) fosse maior do que esse produto o algarismo da unidade deveria ser o maior entre 2 e 8. Como, no caso,  então o algarismo da unidade deve ser o menor deles, obtendo-se como “candidato” a raiz o número 32. O processo termina com o cálculo do quadrado de 32, pela soma indicada a seguir:

O leitor pode perceber que este método nos levaria ao mesmo resultado se o número de partida tivesse qualquer outro algarismo nas dezenas, por exemplo se partíssemos de  1034,  ou  1094,  ou ainda de  1134.

Tais observações nos dão a oportunidade de mostrar aos nossos alunos que não podem aceitar afirmações sem justificativas plausíveis, ainda que estas