Em 1997, na RPM 33, na seção ...e  probleminhas foi publicado o problema dos ceifeiros. Desde então vários leitores têm pedido a solução desse problema sendo que algumas vezes os ceifeiros são transformados em cortadores de cana. 

Eis o problema e a sua solução:

Uma turma de ceifeiros deveria trabalhar em duas roças, uma com o dobro da área da outra. Durante meio dia, todos trabalharam na roça maior, depois do almoço, metade da turma continuou na roça grande e a outra metade passou para a roça menor. No fim da tarde, o trabalho estava quase terminado, faltando apenas uma pequena faixa da roça menor. Esse pedaço foi concluído por um único trabalhador, que ceifou o dia seguinte inteiro. Quantos eram os ceifeiros?

Solução:

Seja  A  a área da roça menor. Então, a área da roça maior será  2 A.

Suponhamos que o número de ceifeiros seja igual a  2n.

Vamos traduzir as informações dadas no problema:

2n + n  ceifeiros,  em meio dia, ceifariam o campo maior, isto é,

     3n   ceifeiros,  em meio dia, ceifariam  2 A.  Então,

  Escreve-nos um leitor de Alagoas:

RPM:  Para entender porque a regra egípcia funciona, basta escrever um dos fatores na base 2. 
Assim,  25 = (11 001)₂ , isto é,   25 = 2⁴ + 2³ + 2⁰  e, 25 x 30 = (2⁴ + 2³ + 2⁰) x 30 = = 2⁴ x 30 +2³ x 30 +2⁰ x 30 = 480 + 240 + 30 = 750,

que é o que está feito na tabela. Os “antigos” achavam fácil duplicar e somar. Somente a justificativa é  “moderna”.  

Com certa freqüência, a RPM recebe perguntas envolvendo definições. Uma leitora perguntou  paralelogramos são trapézios?  De outra leitora,  ângulos adjacentes são necessariamente suplementares?  E de um leitor do Maranhão, o que são conjuntos próprios?

RPM: Definições atribuem nomes a certas situações.  Há definições (nomes) de uso unânime. Por exemplo, triângulo equilátero é um triângulo que tem três lados de igual medida.

Já outras definições não contam com essa unanimidade. Trapézio, para alguns, é um quadrilátero com dois lados paralelos (então um paralelogramo é um trapézio). Para outros, trapézio é um quadrilátero que tem exatamente dois lados paralelos (para esses, um paralelogramo não é um trapézio).

Ângulos adjacentes, na maioria dos nossos livros didáticos, são ângulos que têm um lado comum e não têm pontos internos comuns. Não há a exigência de que sejam suplementares. Mas também existem livros que definem ângulos adjacentes como sendo aqueles que têm um lado comum e a reunião dos outros dois lados é uma reta (portanto, suplementares).

A origem desta última definição é curiosa. No livro original Fundamentos de Geometria, de David Hilbert, cap. 1, §6, está escrito, em alemão: dois ângulos que têm em comum um vértice e um lado e os outros dois lados formam uma reta chamam-se  nebenwinkel.  Na versão em inglês, do mesmo livro, o tradutor chamou esses ângulos de supplementary.  Na versão em francês, supplémentaire e na versão em espanhol, adyacentes.  Em alemão, winkel significa ângulo e neben, na linguagem cotidiana, significa “ao lado de”. Em português, vamos fazer o quê?

Não se aplicam às definições anteriores os adjetivos “certo” ou “errado”. No ensino médio, o melhor caminho é escolher a definição do livro adotado.

Já a pergunta do nosso colega do Maranhão levanta outro problema. A expressão “conjunto próprio” não faz parte da linguagem dos matemáticos; e no ensino médio, não se deve inventar definições. Existe a expressão “subconjunto próprio” – A é subconjunto próprio de B se A está contido em B , não é vazio e é diferente de B. Mas a RPM nunca ouviu falar de um “conjunto próprio”. Isso faz lembrar a história de um professor que dizia que { 2^ª feira, 3^ª feira, 4^ª feira, 5^ª feira , 6^ª feira}  era um  “conjunto incompleto”  porque estava faltando o sábado e o domingo!  

Um leitor nos mandou o problema que ele encontrou na internet:

São considerados conjuntos A, de cem números naturais distintos, que têm a propriedade: escolhendo-se  três elementos quaisquer,  a,  b  e  c  em A, (iguais ou distintos), existe um triângulo não obtusângulo cujos lados medem  a,  b  e  c unidades.

Para cada conjunto A, nas condições anteriores, denotamos por  S(A)  a soma dos perímetros dos triângulos considerados na definição. Qual é o valor mínimo possível de  S(A)?

RPM:  Seja    com  .

O triângulo de maior ângulo é o de lados  .  Para que seja não obtusângulo:  , isto é,  .

Para que a soma dos perímetros seja mínima, os elementos de A devem ser os

menores possíveis, isto é, devem formar uma PA de razão 1, logo, .  Portanto,

Quantos triângulos pode-se formar?    escalenos,    isósceles e  100 equiláteros, num total de 171700 triângulos.

Esses triângulos têm  515100  lados:  5151 de comprimento  240,  5151 de comprimento  241, ... 5151  de comprimento  339.  A soma de todos esses lados, isto é,  S(A)  é igual a 

.