Lendo a RPM 47, deparei-me com satisfação com o Problema do Tesouro. Já o conhecia há muito tempo, do livro Trigonometria e Números Complexos, da SBM (esse livro usa como referenciais uma pedra, uma caverna e a clássica palmeira).

Lembramos que o ponto interessante do problema é que a posição do tesouro não depende de onde se situava a palmeira.  Em termos mais simbólicos, qualquer que seja a palmeira P do plano da ilha, o roteiro descrito pelos piratas localiza o tesouro. Mais ainda, a posição do tesouro só depende da localização das duas pedras.

Vamos mostrar como visualizar o problema utilizando um instrumento computacional dinâmico – Cabri-Géomètre II. As figuras foram obtidas seguindo o roteiro:

a)   Tome dois pontos, que representarão as pedras 1 e 2.

b)   Escolha um ponto qualquer do plano, para designar a palmeira.

c)  Trace um segmento que liga a palmeira à pedra 1. Construa um segmento perpendicular de mesmo tamanho, no sentido positivo. Com isso você obteve a 1^a marca.

d)  Proceda analogamente com a palmeira e a pedra 2 para obter a 2^a marca.  A diferença neste caso está no segmento perpendicular, que deve ser tomado no outro sentido.

e)   Trace o segmento que liga as marcas 1 e 2, e tome o seu ponto médio. Aí está o tesouro, para esta configuração!

f)  Vendo para crer: Para se convencer (ou aos seus alunos) que a posição da palmeira é irrelevante, mova esse ponto ao longo do plano.  Obteremos uma infinidade de figuras, todas elas com uma característica comum: A posição do  tesouro é a mesma.

Nas figuras percebe-se que a posição do tesouro permanece a mesma, independente da palmeira!!

Para finalizar, gostaríamos de apelar para que os leitores curiosos apresentassem uma solução do problema, utilizando apenas a Geometria Plana elementar. O problema do tesouro poderia ser assim formulado: 

Problema: Sejam C um círculo e  ,    dois pontos diametralmente opostos. Por um ponto P do plano trace segmentos    e   e seus respectivos segmentos congruentes e perpendiculares    e  , um para direita e outro para esquerda.  Seja  T o ponto médio de .  Mostre que o ponto T pertence ao círculo  C  (independentemente do ponto  P)  e o triângulo    é isósceles. (Veja figura na página seguinte.)

Nota da RPM: Membros do Comitê Editorial da RPM já têm três ou quatro soluções diferentes do problema utilizando Geometria Plana. Aguardamos as soluções dos leitores.  
 

Painel II: Quadrados Mágicos de ordem par Andre L. M. de Assumpção aluiz@unig.br

A RPM já publicou nos números 39 e 41 vários métodos de construção de quadrados mágicos. Apresentamos a seguir mais um interessante método – método das progressões aritméticas – para construção de quadrados mágicos de ordem múltipla de 4.

O método consiste no seguinte:

1.   No quadrado de ordem  n,  o número 1 será o último número da primeira linha, enquanto que o número  n  será o primeiro da primeira linha. (ver figura). O maior número, , do quadrado mágico (16 para  ;  64 para  ;  144  para  ;  etc.) ocupa a primeira posição da última linha.

2.   No quadrado de ordem  n  a diagonal maior crescente forma uma PA de razão  (para  ,  a razão é  - 5 e para  a razão é - 9). E a diagonal maior decrescente forma PA de razão    (para  ,  a razão é 3 e para  a razão é  7).

3.   Os números da primeira e última linha são distribuídos obedecendo a uma simetria, ilustrada a seguir, à esquerda, no quadrado de ordem  8  (e  12 na próxima página).

Quadrado 12 x 12

4.   Começando em elementos alternados da primeira linha, a partir do segundo, todas as diagonais que possuem a mesma direção que a diagonal maior crescente formam PA’s de razões alternadamente iguais a     e   (para    as razões são  9  e   ).

5.   Começando em elementos alternados da última linha, a partir do terceiro, todas as diagonais que possuem a mesma direção que a diagonal maior crescente formam PA’s de razões alternadamente iguais a     e   (para    as razões são  9  e   ).

6.   Começando em elementos alternados da primeira linha, a partir do terceiro, todas as diagonais que possuem a mesma direção que a diagonal maior decrescente formam PA’s de razões alternadamente iguais a     e   (para    as razões são     e  7).

7.    Começando em elementos alternados da última linha, a partir do terceiro, todas as diagonais que possuem a mesma direção que a diagonal maior decrescente formam PA’s de razões alternadamente iguais a     e    (para    as razões são     e  7).

Deixamos para o leitor completar o quadrado de ordem 12 acima seguindo as regras anteriormente descritas. É um exercício interessante montar os quadrados de ordem 16, etc.

NOTA sobre Painel I – Uma equação motivadora – da RPM 46, enviada pelo leitor Prof. Paulo Chixaro (FATEC – Ourinhos):

Na seção Painéis da RPM 46, o leitor Gilder da Silva Mesquita apresentou a equação irracional  ,  cuja solução foi obtida elevando-se ambos os membros ao quadrado e depois elevando-se novamente, chegando-se a .  Nesse ponto o autor colocou “E agora, José ?” e resolveu o problema através de engenhosas substituições.

Eu gostaria de dar uma solução que quase sempre é um grande desafio: usando simplesmente fatoração. Vamos lá:

Desdobrando-se alguns termos da expressão, teremos:

Colocando-se em evidência  x² no 1 ^o,  2 ^o  e  4 ^o termos,  9x  no  3 ^o,  5 ^o e  7 ^o termos e  18  no  6 ^o,  8 ^o e  9 ^o termos, teremos:

ou  ainda

que é equivalente a

As raízes dessa última equação são obtidas facilmente:

Substituindo-se na equação dada, somente x = 6  é solução.