O Teorema Fundamental da Álgebra, ou abreviadamente TFA, é um dos mais importantes teoremas de toda a Matemática. Esse teorema declara o seguinte:

Toda equação algébrica

com grau    e quaisquer coeficientes complexos tem pelo menos uma raiz complexa.

Esse famoso teorema tem várias provas diferentes, sendo as idéias de algumas demonstrações clássicas (veja [1]) devidas a Gauss. Normalmente as demonstrações usam idéias bastante avançadas. O que é pouco conhecido é que a demonstração clássica do teorema tem uma explicação tão clara que pode ser apresentada para calouros na universidade ou, até mesmo, a alunos do ensino médio se eles conhecerem os números complexos e tiverem interesse pela Matemática. Entre os matemáticos russos, essa explicação é conhecida como senhora com cachorro.

Seja  z  nossa variável que muda no plano complexo da seguinte maneira: o módulo de  z  é uma constante  r  e o argumento de  z  varia de zero até  .  Assim,  z  percorre um círculo no plano complexo, cujo centro é o ponto  O  e o raio é  r.  Sabemos que geralmente

  e 

Em nosso caso, o módulo de  z  é  r  o tempo todo, e assim o módulo de    é    o tempo todo.  Dessa forma, como o argumento de  z  vai de  0  até  ,  o argumento de    vai de  0  até  .  Logo, quando  z  percorre um círculo com centro  O  e raio  r,    percorre  n  vezes o círculo com o mesmo centro e raio  .

Imaginemos que    é uma senhora muito organizada, cuja casa é no ponto  .  Essa senhora sai da sua casa e faz um passeio saudável no plano complexo, percorrendo  n  vezes o círculo perfeito com centro  O  e raio  .

O comportamento do polinômio    nesse processo é muito mais complicado. Imaginemos que esse polinômio é um cachorro alegre que gosta de visitar muitos lugares, mas está conectado com a senhora por uma coleira, como mostra o desenho a seguir.

A senhora, isto é, o termo  ,  percorre  n  círculos com o centro  O  e raio  .  O cachorro, isto é, o polinômio  ,  percorre uma curva complicada, mas durante todo o passeio está refreado por uma coleira.

O comprimento da coleira é o máximo da distância entre o cachorro e a senhora, isto é, entre    e  ,  que é o máximo do módulo da diferença entre o polinômio    e  o termo  :

comprimento da coleira

Mostremos que, quando  r  é muito grande, o comprimento da coleira é muito menor que  .  Por exemplo, se quisermos que o comprimento de coleira seja menor que  ,  basta tomar

       (1)

pois, nesse caso, o comprimento da coleira, ou a distância entre a senhora e o cachorro, satisfaz:

Agora temos a parte mais delicada de nosso argumento: se o comprimento da coleira é menor que  ,  o cachorro também tem que fazer  n  voltas em torno de zero! Esta conclusão informal é o ponto não rigoroso da argumentação, por isso dizemos que apresentamos uma “explicação” e não uma “prova”. Contudo, é possível fazer a apresentação rigorosa se incluirmos definições e provas, como no livro [2], capítulo 8, págs. 134-136.

Então, quando  r  é bastante grande, o cachorro dá  n  voltas em torno do ponto  O.  O que acontece quando  r  é pequeno?  Quando  ,  o cachorro fica no ponto    durante todo o passeio e, quando  r  é pequeno,  o cachorro fica perto desse ponto.  Se  ,  nosso teorema é evidente, pois    é uma raiz. Logo, podemos supor que  .  Neste caso, quando  r  é bastante pequeno, o cachorro não dá nenhuma volta em torno do ponto  O.

Agora pensaremos sobre a função  ,  que fornece, para cada  r,  o número de voltas do cachorro em torno do ponto  O.  Sabemos que:

A função  é definida só quando o cachorro não visita o ponto  O.

A função    só pode tomar valores inteiros.

Quando  r  é pequeno, a função    é igual ao zero.

Quando  r  é grande, a função    é igual ao  n.

Quando  r  cresce de um valor bastante pequeno até um valor bastante grande, a função  tem que crescer também.  Mas como pode crescer uma função que só tem valores inteiros? Apenas com saltos: saltando de um valor inteiro para outro. Quando a função    salta, ela não está definida e isso acontece somente quando a trajetória do cachorro cruza o ponto O.  Logo, existe pelo menos um valor de  r  tal que o cachorro visita o ponto  O.  Mas então temos uma raiz!  
 

Notas

1.  Quem descobriu o TFA? Como isso aconteceu em vários estágios, não há uma resposta simples. Vários matemáticos contribuíram nesse teorema, mas é claro que o matemático alemão Gauss (1777–1855) foi o maior contribuidor. Ele teve bastante interesse por ele em toda a sua vida e apresentou várias provas. Mais informações sobre o TFA e sua história podem ser obtidas na Internet através do www.google.com, fazendo uma busca por Fundamental Theorem of Algebra.

2.  Quando um dos autores deste artigo, a saber A. Toom, foi aluno da Universidade de Moscou, ouviu este argumento como parte do folclore entre os alunos e o publicou numa revista russa [2]. O nome “senhora com cachorro” foi tomado de um conto do escritor russo Tchekhov.  

Referências bibliográficas

[1]  COURANT, R. e ROBBINS, H. O que é a Matemática? Uma abordagem elementar de métodos e conceitos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna.

[2]  FINE, B. e ROSENBERGER, G. The Fundamental Theorem of Algebra. New York: Springer, 1948.