Chico Nery
Campinas, SP

Cláudio Possani
São Paulo, SP

 

Como prometemos, aqui estão as soluções dos problemas que não constavam no artigo Os primos esquecidos  publicado na RPM 47.


P2. Eu e meu irmão caçula temos idades entre 10 e 20 anos e hoje nossas idades são expressas ambas por números primos, fato que se repetirá pela próxima vez daqui a 18 anos. Determine minha idade sabendo que a idade de nosso irmão mais velho, que, hoje, também é um número primo, é uma unidade maior do que a soma das nossas idades.

Solução do P2

As duplas de primos entre  10  e  20  são:

11 e 13,   11 e 17,   11 e 19,   13 e 17,   13 e 19   e   17 e 19.

Como a soma dos números adicionada de 1 deve resultar um primo, descarto as duplas   11 e 13   e   13 e 19.  Como daqui a  18  anos as idades voltam a ser representadas por números primos, descarto as duplas que incluem o  17. Resta apenas uma possibilidade: minha idade é 19 anos e a do meu irmão é 11 anos.


P3. Uma equação do 2o grau, cujos coeficientes são todos números primos, pode apresentar duas raízes iguais?

Solução do P3

Para que  a equação   (com  a,  b  e  c  primos) admita duas raízes iguais, devemos ter    ou  ,  o que implica    par.  Logo,  b  também é par e, como é primo,  .  De    temos  ,  o que é absurdo para  a  e  c  primos.  


P4. Os números  a,  b  e    podem ser todos primos?

Solução do P4

Seja  ,  portanto   .  Se  b  e  x  são números primos, então    não é primo; logo,  a  não é primo.


P5. Quantos pontos da reta    são tais que as suas duas coordenadas são números primos?

Solução do P5

Se  ,  temos  ,  que é primo. Se  x  for  qualquer outro primo, será um número ímpar, implicando  y  par  maior que  2,  logo, não primo. Assim, existe um único par,  (2, 53),  da reta de equação    que tem ambas as coordenadas dadas por números ímpares.

P7. Para quantos pontos da circunferência   as duas coordenadas são números primos?

Solução do P7

Se  x  e  y  satisfazem a equação  ,  sendo  361  ímpar, devemos ter  x  par e  y  ímpar  ou  x  ímpar e  y  par.  Se  x  é par e primo, então,  ;  logo,    e  y  não é, então, um número inteiro.  Do mesmo modo verificamos ser impossível ter  y  par e  x  ímpar; logo, nenhum ponto da circunferência de equação    tem ambas as coordenadas dadas por números primos.


P8. Para quantos pontos da circunferência    as duas coordenadas são números inteiros?

Solução do P8

Observamos, inicialmente, que   ,   logo os seguintes oito pontos, de coordenadas inteiras, pertencem à circunferência de equação  :  ,  ,  ,  ,  ,  ,    e  .

Além disso, sendo  461  um número primo que dividido por  4  deixa resto  1,  o resultado de Fermat,  “todo número primo que dividido por  4  deixa resto  1  pode ser escrito como soma dos quadrados de dois números inteiros, de modo único, a menos da ordem”, prova que esses oito são os únicos pontos de coordenadas inteiras pertencentes à circunferência.


P9. Determine as medidas, em graus, dos ângulos internos de um triângulo acutângulo, sabendo que elas são expressas por números primos.

Solução do P9

Se  ,  com  a,  b  e  c  primos, não é possível ter  a,  b  e  c  ímpares; logo, pelo menos um deles, digamos o  a,  deve ser igual a  2,  o que implica  .  Podemos ter  ,  que  é primo e, por verificação direta, mostra-se que não há outra possibilidade, já que o triângulo, sendo acutângulo, implica  b < 90  e  c < 90.

Sem a hipótese de o triângulo ser acutângulo, obtemos, por tentativa, as possibilidades:  5 e 173,  11 e 167,  29 e 149,  47 e 131  e  71 e 107.


P10. Quantos divisores possui o número 2 420?

Solução do P10

 e um divisor qualquer é obtido por um produto dos primos 2,  5  ou 11  elevados aos expoentes:

primo 2: expoente 0, 1 ou 2;  primo 5: expoente 0 ou 1;  primo 11: expoente 0, 1 ou 2.

Pelo Princípio da Contagem obtemos    divisores.

P11. Verifique que todos os    números da seqüência  ,  , ...,   são números compostos (são os chamados “desertos de primos”).

Solução do P11

Observemos que:

  é divisível por  2;     é divisível por  3; ...     é divisível por  n,  logo,  não são números primos.


P13. Apresente algum número natural  n  para o qual o valor numérico  do polinômio    não seja um número primo.

Solução do P13

Para  ,

que não é primo.  Também para  ,

,  que não é primo.

Prova-se que para qualquer valor inteiro de  x,  ,  tem-se   igual a um número primo (ver RPM 09, pág. 33).


P14. Quantos polígonos regulares, com número par de lados, podem ter todas as diagonais expressas (numa mesma unidade) por números primos?

Solução do P14

expressas por números primos, pois a medida das diagonais é igual  2  (ou p).

Um hexágono regular  ABCDEF  não pode ter todas as diagonais expressas por números primos. Consideremos, por exemplo, as diagonais  DA  e  BD.

que as medidas de BD  e  AD  não podem ser simultaneamente expressas por números inteiros, logo não podem ser ambas números primos.

P15. Há dois anos, ano em que finalmente concluí meu doutorado em Matemática, nasceu meu segundo filho e ocorreu uma notável coincidência: eu e meus dois filhos passamos a fazer aniversário no mesmo dia do ano. A partir daí outras coincidências aconteceram. No ano passado nossas três idades foram representadas por quadrados perfeitos e hoje, dia em que estamos comemorando mais um aniversário, percebo que nossas idades são representadas por três números primos. Supondo que vivamos cem anos cada um, pergunto: qual é minha idade hoje? Nos próximos anos, quantas vezes todas as nossas idades voltarão a ser representadas por números primos?

Solução do P15

No ano passado meu filho caçula certamente tinha  1  ano de idade. Meu outro filho tinha  4  ou  16  anos e eu, o pai,  36 anos.

Portanto, hoje, minha idade é  37 anos.

Quando a minha idade é ímpar, a do meu caçula é par e vice-versa; portanto, nunca mais nossas idades voltarão a ser todas simultaneamente representadas por números primos.