José Luiz Pastore Mello
São Paulo, SP

Recentemente fui obrigado a solicitar uma segunda via do meu registro geral (RG) e para minha surpresa acrescentaram um dígito ao final do meu antigo número de RG. Na ocasião fiquei curioso em saber as razões desse dígito adicional, fato que só esclareci recentemente e que compartilho com o leitor neste artigo devido ao grande interesse matemático da questão.

A abordagem aqui proposta procura despertar a curiosidade do professor e sugerir material para aulas de aritmética do ensino fundamental e álgebra do ensino médio.

Aqueles que por oficio são obrigados a digitar enormes quantidades de números, como, por exemplo, o caixa de um banco ou o caixa de um supermercado, sabem muito bem que freqüentemente acabam cometendo erros de digitação. Um erro de digitação pode ter sérias implicações, dependendo da natureza do que está sendo registrado. Imagine, por exemplo, que em diversos institutos de investigação médica, os dados de cada paciente em estudo são mantidos em sigilo, o que faz com que cada um seja apenas identificado por um código numérico. Um erro de digitação de um código nessa circunstância pode implicar sérios riscos ao paciente.

Pesquisas recentes ([2]) sobre a natureza dos erros de digitação cometidos revelam um fato curioso. Cerca de  79%  dos erros ocorrem com a digitação equivocada de um único dígito (ou algarismo), como, por exemplo, digitar  1 573,  quando o correto seria  1 673.  

Esse tipo de erro recebe o nome de erro singular.

Outros  11%  dos erros, chamados de erros de transposição, referem-se à troca de dois dígitos (ou algarismos), como, por exemplo, escrever MTAEMÁTICA, quando o correto seria MATEMÁTICA. Os demais  10%  dos erros estão distribuídos em diversas categorias, nenhuma delas representando mais de  1%  do total.

É bom que fique claro que existem particularidades em cada sistema de códigos, ou até mesmo em cada idioma, que podem mudar significativamente essa distribuição de probabilidades. Apenas para citar um exemplo, na Suécia os números de identificação de cada cidadão são constituídos por 6 algarismos para a data de nascimento (ano/mês/dia), seguidos de  3  algarismos para evitar duplicações de datas. Muitas pessoas, no entanto, ao digitar, permutam os algarismos do ano com os do dia, criando um erro muito freqüente, que não é singular nem de transposição (trata-se aqui de um erro de trocas duplas).

Sabendo-se que nos dias de hoje cada vez mais usamos os computadores para armazenar e processar as informações digitadas, não seria possível criar um sistema que pudesse identificar com  100%  de segurança um erro de digitação do tipo singular ou de transposição? Se isso fosse possível, nosso sistema daria conta de evitar cerca de  90%  dos erros mais freqüentes de digitação.

O sistema ISBN (International Standard Book Number), criado em  1969  para a identificação numérica de livros, CD-Roms e publicações em braille, talvez seja um dos pioneiros na utilização de um dígito de verificação ao final de cada código capaz de resolver o problema dos erros singulares e de transposição. Por exemplo, o código ISBN  85-00-00669-2  refere-se ao livro Os números governam o mundo, de Malba Tahan. Com exceção do último dígito da direita, que é o dígito de controle, os demais  9  dígitos são responsáveis por identificar o país de origem da obra, a editora e o livro propriamente dito.

Os equipamentos que recebem a digitação de um código ISBN x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ x₉ e seu dígito de verificação    estão programados para verificar se o resultado,  S,  da conta

é divisível por  11  ou não: o algarismo de verificação é escolhido de tal forma que o resultado dessa conta tenha sempre resto zero na divisão por  11,  ou com a notação de congruência,  S 0 (mod 11).  Veja, no exemplo do livro de Malba Tahan, que

,

que é divisível por 11.

Podemos demonstrar um importante resultado com relação a esse sistema de aritmética módulo 11:

Se ocorrer na leitura de um código ISBN um, e apenas um, dos dois erros (singular ou de transposição), então a soma S não será um múltiplo de 11.

Caso 1: ocorre um erro singular.

Seja    um código ISBN com dígito de verificação    e    o resultado da ocorrência de um erro singular na         i-ésima  posição. Chamemos de  S  e  S*  as somas correta e errada respectivamente. Temos evidentemente que  S 0 (mod 11) e  S*-S= .

Se admitirmos por hipótese que  S*  é múltiplo de  11  então, como  11  é primo, concluímos que 11 divide    ou divide ,  o que é um absurdo, pois    e    são números inteiros não nulos entre   e 10. Logo,  S*  não é múltiplo de 11.

Caso 2: ocorre um erro de transposição.

Seja    um código ISBN,    o dígito de verificação e    o resultado da ocorrência de uma transposição dos algarismos  e  nas posições  i  e  j  .  Nesse caso, a diferença  S*-S  é igual a

.

A hipótese de  S*  ser múltiplo de  11  mais uma vez é absurda porque nos conduziria à conclusão de que um dos números   ou  ,  que são números inteiros não nulos entre  e 10, é múltiplo de  11.  Segue que  S*  não pode ser múltiplo de  11.

Se agora admitirmos que na leitura de um código ISBN só ocorrem erros singulares ou de transposição, não mais do que uma vez em cada número, então não ocorrem erros na leitura de um código ISBN se e somente se a soma  S  for um múltiplo de  11.

É bom lembrar que, ao digitarmos um código ISBN cometendo um erro singular ou de transposição, o equipamento que recebe os dados será capaz apenas de acusar a existência de um erro devido ao fato de  S  não ser divisível por  11,  mas não será capaz de encontrá-lo; o que implica dizer que o digitador tem ainda como tarefa procurar o erro cometido.

Para o Estado de São Paulo e muitos outros Estados brasileiros, o dígito de verificação do RG é calculado da seguinte maneira:

Seja    o RG de um indivíduo  e    o dígito de verificação. Temos que a soma

deverá ser divisível por  11  para que não tenha ocorrido um erro singular ou um erro de transposição. Como normalmente se reserva apenas um algarismo para o dígito de verificação, que é um inteiro entre  0  e  10  na aritmética módulo  11,  normalmente se usa a letra  X  para representar o dígito de verificação  10,  como, por exemplo, o RG número  .  Verifique que

é divisível por 11.

Em Portugal, onde o algoritmo de verificação dos documentos de identificação é igual ao nosso, com a diferença de que lá se utiliza peso  10  no dígito de verificação em vez de peso  100,  os responsáveis pela concepção do sistema decidiram não utilizar a letra X  para um dígito de verificação  10,  optando pelo uso do zero para representá-lo. É curioso notar, no caso português, onde um dígito de  verificação  0  pode significar o número zero ou o número dez, que toda a concepção do sistema de detecção de erros singulares e de transposição está comprometida para os portadores de documentos de identificação com dígito de verificação igual a  10.

É bom notar que o sistema brasileiro também não é uniforme. Recentemente descobri que o dígito de verificação do RG de um amigo nascido no interior do Rio Grande do Sul não segue o mesmo algoritmo válido para São Paulo e muitos outros Estados.

Bibliografia

[1]  BUESCU, Jorge. O mistério do Bilhete de Identidade e outras histórias. Lisboa: Gradiva, 2001.

[2] PICADO, Jorge. A álgebra dos sistemas de identificação: da aritmética modular aos grupos diedrais, Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática, n^o 44, abril/2001.