A RPM tem recebido muitas cartas e e-mails com perguntas dos leitores. Só em janeiro deste ano chegaram umas 50 questões enviadas por cerca de 20 leitores. Algumas questões fogem ao escopo da RPM como a do leitor que queria saber qual era o QI de Albert Einstein. Outras são impossíveis de responder como a de uma leitora que queria informações detalhadas sobre números primos “por este e-mail até amanhã”.

Mas, em geral, é com prazer que a RPM responde às perguntas dos nossos leitores e para isso conta com a ajuda de uma equipe de professores. É especialmente gratificante, após enviar respostas, receber um bilhete ou e-mail com um “obrigado(a) – entendi tudo”.

Para este número, selecionamos as seguintes perguntas:

Um leitor pergunta: quantos triângulos obtusângulos existem cujos lados são três números inteiros consecutivos?

RPM:  Somente um, de lados 2, 3 e 4.

Supondo que as medidas dos lados sejam  a – 1, a  e  a + 1, é necessário que

, isto é,  .

A lei dos cossenos nos diz que nos triângulos obtusângulos

.  Efetuando os cálculos, obtém-se  .

Portanto,   e os outros lados medem 2 e 4.  

Um leitor do Ceará quer saber  qual é o maior fator primo de 

RPM:  É  73.

.  

Um leitor pediu a solução da questão:

RPM: Do enunciado obtemos:

Portanto  (e)  é a opção correta.

Uma outra maneira (menos elegante) de descobrir a alternativa correta é ver o que acontece com todas as alternativas para  n = 1.  Com isso eliminam-se as opções  (a),  (b)  e  (d),  sobrando  (c) e  (e).  A opção (e)  aponta para a função nula que, de fato, satisfaz as condições do enunciado. Supondo que o ITA não apresenta testes “furados”,  nem é necessário examinar a alternativa (c).  

Um leitor do Rio Grande do Sul pediu a simplificação da expressão

.

RPM:  O problema só é atraente porque a resposta – imagine – é  373.

Observamos, inicialmente, que  e por isso todos os números entre parênteses têm um fator  4  que pode ser simplificado. A expressão dada fica:

Há dois fatos que vão permitir simplificar essa expressão:

  e, em seguida, se no lugar de    colocarmos  ,  obtemos

.

Observe que    é um fator comum nas duas expressões acima.

Explicitamente, usando os resultados acima, vemos que:

Portanto, para cada “par” de termos, um no numerador e outro no denominador, um fator do tipo   poderá ser cancelado. E agora é até divertido fazer todas as contas e observar os cancelamentos. A expressão fica:

Um leitor do Rio de Janeiro nos enviou o seguinte problema:

Sejam  d  uma reta  e  F  um ponto fora de  d.  Para cada ponto    seja  t  a reta mediatriz do segmento  .  Mostre que  t  é tangente à parábola de foco  F  e diretriz  d.

RPM: Entenderemos a reta tangente a uma parábola como sendo a reta que intercepta a parábola num único ponto (chamado ponto de tangência) e que não é paralela ao seu eixo. Os leitores familiares com a noção de derivada de uma função podem mostrar a equivalência entre a definição acima e a usual apresentada nos cursos de Cálculo.

Lembrando que os pontos de  t  são eqüidistantes de  F  e  R,  temos   ou seja,  P  pertence  à parábola  P  de foco  F  e diretriz  d.

Seja agora    Q  distinto de  P.  Mostraremos que  P  de modo que  t  intercepta  P  apenas no ponto  P.

Como  Q  é distinto de  P,  temos que    não é perpendicular à reta  d  e, portanto,  .  Por outro lado,  ,  pois    Logo,  ,  isto é,  P.

Temos assim provado que  t  é tangente à parábola  P  no ponto  P.

O problema acima justifica uma interessante construção da parábola através de dobraduras. Numa folha de papel fino (papel manteiga, por exemplo) com cerca de 30 cm por 22 cm, trace uma reta e marque um ponto fora desta. A seguir dobre a folha de modo que o ponto considerado se sobreponha a um ponto qualquer da reta.

Finalmente vinque a dobra para que esta fique gravada no papel como uma linha visível. Repita esta operação muitas vezes, quantas a sua     paciência permitir. Ao observar a folha aberta contra uma superfície escura surgirá uma parábola lindamente emoldurada por envoltórias de tangentes. Para outras propriedades das parábolas veja RPM 33 pp. 10 a 15.