NOTA: Por um erro de digitação, na RPM 47, os dois últimos problemas estão numerados como 200. O “segundo” Problema 200 é o Problema 201.
 

202.   Responder às questões sem calcular todas as raízes quadradas:

(a) Dentre os 96 números de cinco algarismos formados pelas permutações dos elementos do conjunto{0,2,4,6,8}, quantos são quadrados perfeitos?

(b) Mesma questão de (a) para os 120 números formados pelas  permutações dos elementos do conjunto {1,3,5,7,9}.

(Adaptado de um problema do livro Mathematical Quickies de Charles W. Trigg.) 

 

203.   Se  ABC  é um triângulo qualquer e  I  seu incentro, prove que a circunferência que passa por  B,  C  e  I passa também pelo excentro relativo ao lado  BC  (o excentro  I_A relativo ao lado BC  é o

(Enviado por Ângelo Barone Neto, SP.)

204.   Resolva a equação:   (x + 1)⁶ = x⁶.

(Versão simplificada de um problema proposto no livro A Matemática do ensino médio, vol. 3, publicação da SBM.)  

205.   Três aranhas caminham pelos lados de um triângulo  ABC  e movimentam-se de modo que em qualquer instante formam um triângulo e o baricentro de todos os triângulos formados é sempre o mesmo ponto (fixo)  P.  Sabendo-se que uma das aranhas percorre todo o triângulo  ABC,  mostrar que  P  é também o baricentro do triângulo  ABC.                            (Olimpíadas Russas.)

1.  O produto de dois números que não são primos entre si é 6 435. Qual é o máximo divisor comum desses dois números?  

3.  O Asterix e o seu companheiro Obelix estão a explorar um país muito pequeno no qual apenas existe uma estrada (em linha reta) que liga as três cidades que pretendem visitar: Amix, Berlix e Celtix. Ao chegarem à cidade de Amix avistam dois sinais com as seguintes indicações: “Berlix 5 km” e “Celtix 7 km”. Caminham mais alguns quilômetros e chegam a Berlix, onde, com espanto,  Obelix encontra dois sinais com as indicações: “Amix 4 km” e “Celtix 6 km”. Ao comentar com Asterix o sucedido, este responde-lhe: “Não te preocupes! Sabe-se que numa das cidades todos os sinais têm indicações erradas, noutra todas as indicações são corretas e na outra uma indicação é correta e a outra errada”. Por fim, ao chegarem a Celtix avistam mais dois sinais: “Amix 7 km” e “Berlix 3 km”. Quais são as verdadeiras distâncias entre as três cidades?

(Jornal de Matemática Elementar. Lisboa, Portugal, dez/01.)

(Ver respostas na seção "Cartas do leitor")

(Ver respostas na seção "O leitor pergunta")

194.   Dado um quadrado  ABCD,  quantos triângulos equiláteros existem que possuem os três vértices sobre os lados do quadrado? Justifique.

Solução:

Existem infinitos triângulos, pois: 

No quadrado  ABCD,  seja  M  o ponto médio de  AB  e  O  um ponto qualquer no interior de  AM.  Se  T  é a rotação do plano, de centro  O  e ângulo  60^o, no sentido anti-horário, denotemos a imagem de  ABCD  por 

encontra BC no ponto P (ou D'C' encontra BC no ponto P).  Como T  é bijeção, existe um único  Q  em  AD  (ou existe um único  Q  em  DC)  tal que  T(Q) = P.
 

,

196.  Usando as letras  A,  B  e  C  podemos formar  3ⁿ  “palavras” de  n  letras. Quantas dessas palavras não possuem dois ou mais A’s adjacentes?

Solução

Para todo  j  inteiro,  j 1,  seja  S_j o conjunto de todos os agrupamentos com  j  elementos que satisfazem a condição do problema, isto é,  nenhuma das palavras de  S_j  possui dois ou mais A’s adjacentes. Sendo  a_j o número de palavras de  S_j  ,  vamos tentar obter o valor de  a_j  em função de  j.

Alguns casos particulares podem ser facilmente calculados, obtendo-se  a₁=3,  a₂=8 e  a₃=22.

Vamos supor conhecidos todos os  a_n-1 elementos de  S_n-1   Cada um deles dá origem a pelo menos dois elementos de  S_n'   bastando colocar  B  ou  C  na  n-ésima posição.  Vamos observar ainda que os elementos de  S_n-1   que não terminam em  A  dão origem a mais um elemento de  S_n'   que será obtido colocando  A  na n-ésima posição. Mas esses elementos são aqueles que foram obtidos de elementos de  S_n-2   aos quais foram acrescentadas as letras   B   ou   C.   Portanto, existem  2elementos

desse tipo. Segue-se, portanto, que vale a relação:  a_n = 2a_n-1 + 2a_n-2.

Podemos considerar o problema satisfatoriamente resolvido ao chegar a essa fórmula de recorrência, já que temos os valores de  a₁   e de  a₂ , logo, teremos a₃=2a₂+2a₁, a₄=2a₃+2a₂etc. (consideramos corretas as soluções dos leitores que chegaram até aqui), embora, para obter  a_n  para valores grandes de  n,  o método deixe de ser eficiente.

Se desejarmos uma expressão explícita para  an  em função de  n,  existe uma teoria que permite obtê-la a partir da fórmula de recorrência:

Toma-se a equação de segundo grau    x²2x2=0,   que se diz associada a  
a_n2a_n-1-2_an-2=0,  cujas raízes são: 

Prova-se, então, que a expressão geral para  a_n   é: 

Usando os valores de  a₁ = 3  e  a₂ = 8 ,  obtemos:

Pelas características do problema, apesar da aparência, a_n  é um número inteiro para todo  n.  A RPM poderá desenvolver essa teoria num próximo número, se for de interesse de nossos leitores.

Nota: Uma variante desse problema (com números em lugar de letras) aparece no livro Progressões e Matemática Financeira da coleção Impa-Vitae.)

197.  No jogo da Quina, administrado pela Caixa Econômica Federal, em cada sorteio são escolhidas cinco dezenas distintas entre   01, 02, ...,  80.  Em cada aposta, o jogador pode escolher entre o mínimo de cinco e o máximo de oito dezenas. Você ganha um prêmio se acertar três, quatro, ou todas as cinco dezenas sorteadas. Um jogador, com o objetivo de garantir ao menos um prêmio de quadra, escolheu dez dezenas, dividiu-as em cinco blocos de duas dezenas cada um e em seguida agrupou esses blocos quatro a quatro. Com isso ele obteve cinco jogos de oito dezenas cada um. Suponha que as cinco dezenas sorteadas pela Caixa estavam entre as dez que ele escolheu. Qual é a probabilidade condicional de que ele ganhe o prêmio da Quina?

Solução:

Como, de acordo com o enunciado, as cinco dezenas sorteadas estão entre as dez que o
que o apostador só não ganhará a quina se as cinco dezenas sorteadas estiverem todas em blocos diferentes, isto é, se o sorteio escolher uma dezena em cada um dos cinco blocos. Como em cada bloco existem duas escolhas possíveis, segue-se que existem  2⁵ = 32  quinas que não dão prêmio ao apostador.

Portanto, a probabilidade condicional de que ele ganhe o prêmio será

Observação: Outra maneira equivalente de calcular a probabilidade de que o jogador não ganhe o prêmio (e que foi escolhida por alguns leitores) é a seguinte: A primeira dezena sorteada pode ser qualquer uma das dez. Já a segunda não poderá ser qualquer que está no mesmo bloco da primeira. Repetindo esse raciocínio, obtemos que a probabilidade de que ele não ganhe o prêmio será dada por: