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Dizemos que um ponto B divide um
segmento AC em média e extrema razão quando
A divisão de um segmento em média e extrema razão já aparece no Livro VI de Euclides e retângulos áureos são encontrados com freqüência nas esculturas e obras arquitetônicas da Grécia antiga ([1]). Por esse motivo a razão áurea é normalmente atribuída aos gregos. Ao que parece, ela já estava presente nas pirâmides do antigo Egito!
A relação
Definição 1. Um triângulo é um
triângulo áureo quando ele é semelhante ao triângulo retângulo com
hipotenusa É fácil demonstrar o seguinte:
Proposição 1. Um triângulo
retângulo com hipotenusa a e catetos b e c (
(P): A área de cada face triangular é igual à área de um quadrado cujo lado é a altura da pirâmide.
Com a notação da definição 2, uma pirâmide
reta de base quadrada satisfaz a
Proposição 2. Uma pirâmide reta com base quadrada satisfaz a propriedade (P) se e somente se ela for uma pirâmide áurea.
Demonstração: Suponhamos em
primeiro lugar que a pirâmide é áurea, isto é, que o
Temos: isto é, a pirâmide satisfaz a propriedade (P). Reciprocamente, suponhamos que a pirâmide satisfaça a propriedade (P). Das relações
Em [3] encontram-se as seguintes dimensões
(em metros) para as pirâmides de Quéops (base quadrada), Quéfren
(base quadrada) e Miquerinos (base retangular):
Para Quéops temos
Miquerinos também não é (sua base não é sequer quadrada). A história conta que Tales de Mileto (624-548 a.C.), com a sombra de um bastão, determinou a altura das pirâmides do Egito e, talvez, quem sabe?, tenha verificado que a pirâmide de Quéops satisfaz (P)!
Como curiosidade, o leitor pode calcular,
usando as dimensões dadas, os volumes das pirâmides e verificar que o volume de
Quéops é maior do que a soma dos volumes de Quéfren e de Miquerinos. O
leitor também pode verificar que, se as três pirâmides tivessem bases quadradas
e fossem áureas (o que “quase” acontece), então, os lados das bases,
Referências bibliográficas [1] ÁVILA, Geraldo. Retângulo áureo, divisão áurea e seqüência de Fibonacci, RPM 06 (1985), págs. 9-14. [2] EVES Howard. Tópicos de História da Matemática - Geometria, São Paulo: Editora Saber Atual, 1994, págs. 42-45. [3] LEHNER, Mark. The complete pyramids. London: Editora Thames and Hudson, 1997. |
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um retângulo de lados a e b (b < a) tal que
o retângulo de lados b e
seja semelhante ao retângulo
mostra que um triângulo de lados 1,
e
é um triângulo retângulo com hipotenusa
. 
. 
) é áureo se
uma pirâmide reta de altura h com base quadrada de lado a
e seja H a altura de suas faces. Dizemos que
O
historiador grego Heródoto (cerca de 500 a.C.) relata que aprendeu com os
sacerdotes que as grandes pirâmides do Egito (construídas em torno de 2500 a.C.)
satisfazem a seguinte propriedade (P) ([2]): 
e
, e as alturas,
e
, satisfariam: 