Se  n  é um número natural, denotamos por  d(n)  o conjunto dos divisores próprios (diferentes de n) de  n,  e  s(n)  indica a soma desses divisores. Um número é dito abundante quando a soma de seus divisores próprios for maior que o próprio número. Quando a soma de seus divisores próprios for menor que ele, então o número é chamado deficiente. Por exemplo,

,  e ,  então 24  é um número abundante;

,    e  ,  então 16 é um número deficiente.

Lembramos que um número é perfeito (ver RPM 41) se  .  Vamos agora apresentar os números semiperfeitos: são aqueles que podem ser obtidos a partir da soma de alguns de seus divisores próprios.

Por exemplo, 20 é um número semiperfeito, pois sendo    tem-se: .  Fica evidente que um número semiperfeito também é abundante, mas a recíproca nem sempre é verdadeira, como nos exemplos:

  e  .  Como    então ele é um número abundante, mas, por mais que tentemos, não conseguimos obter, utilizando os seus divisores próprios, uma soma igual a  70,  logo não é semiperfeito.

,  .  Logo, 836  é abundante, mas também não é semiperfeito. A esses números chamamos de estranhos ou predestinados.

Existem ainda os chamados números felizes e, para reconhecê-los, procedamos da seguinte maneira: Considere o número  p  e separe seus dígitos; eleve cada dígito ao quadrado e depois some as potências obtidas, obtendo o número  q; se  ,  p  é um número feliz.  Se  ,  repetimos todos  os passos  com o resultado obtido, tentando chegar no valor  1,  o que garante a “felicidade” do número.

Vejamos se 203 é um número feliz.

;  os dígitos são  2,  0  e  3;  ,  logo 

Como  q  é diferente de  1,  repetimos os passos com o número 13:

;  ,  assim obtemos o  1, logo  203  é feliz.

O número 7  também é um número feliz:

;  ;  ;    (observe que este valor aparece no ciclo do número 203);  .

Os números que não são felizes, são chamados infelizes. Por exemplo, 3 é um número infeliz. Sigamos os passos:

;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;    e temos aqui o resultado já obtido no 5^o passo e, dessa maneira, teremos um ciclo que se repetirá indefinidamente.

Podemos observar (e isso vale também para os números felizes) que números do tipo  ab  e  ba  produzem o mesmo ciclo, ou seja, se  ab  é infeliz,  ba  também o será. Se um número está no “ciclo” de um infeliz, ele também é infeliz.  

Alguns números possuem a propriedade de se auto-elogiarem através de seus dígitos, por essa razão formam uma família de números chamados de narcisistas. Entre esses destacamos várias categorias, a saber:

Narcisistas clássicos – São os números que são iguais à soma de seus dígitos elevados a uma potência igual ao número de dígitos. Tomemos por exemplo o número 153: elevando cada um desses dígitos ao cubo (pois 3 é o número de dígitos) e somando os resultados obtidos, temos: . 

São também narcisistas clássicos:  ;

  e  .

Hiper narcisistas – São aqueles extremamente apaixonados pelos seus próprios dígitos e até na manipulação matemática só aparecem eles próprios. (Para conseguir isso são capazes de qualquer coisa!) Vejamos:

.

Coloquemos mais alguns exemplos menos traumáticos:

;  (observe que, nesse último, as potência são os mesmos dígitos em sentido inverso).

Narcisistas top – Os dígitos estão sempre “por cima”.

;     .

Narcisistas selvagens – São capazes de qualquer “arrumação” matemática para se autopromoverem.

,    e  .

71 e 936 também são narcisistas selvagens: você consegue determinar uma expressão para mostrar isso?                                    

(Fonte: Internet)

O Winplot é um ótimo programa de domínio público, produzido por Richard Parris, da Phillips Exeter Academy (http://math.exeter.edu/rparris). É utilizado principalmente para o traçado de funções e equações no plano e no espaço. Foi recentemente lançada na Internet a sua versão para o português, melhorando ainda mais sua acessibilidade. O programa tem a vantagem de ser simples, interativo e gratuito, além de estar sempre atualizado na rede. Utiliza pouco espaço em disco (um disquete) e dispõe de vários recursos, alguns enumerados a seguir:

   Trabalha com duas ou três dimensões, desenha gráficos no plano ou no espaço, e permite formatá-los em cores e espessuras diversas. É possível colorir os gráficos, redimensionar suas janelas, exibir escalas nos eixos, linhas de grade, entre várias outras opções.

   A partir de um gráfico de  pode-se determinar seus zeros, seus pontos de mínimo e de máximo, sua derivada, e visualizar a evolução da reta tangente por um ponto qualquer do seu gráfico (ver menu Um). 

   Pode-se também visualizar (e calcular) a área limitada por duas funções  f  e  g,  entre dois pontos especificados.

  No caso 2D e 3D é possível plotar (e animar) gráficos de funções em coordenadas cartesianas, polares, curvas na forma paramétrica e na forma implícita.

  Pode-se visualizar curvas soluções de campos de vetores no plano e no espaço e de equações diferenciais. Pode-se exibir também seqüências de pontos no plano.

   Uma excelente opção do programa é a possibilidade de animar gráficos (menu Animação), introduzindo parâmetros em suas expressões. Por exemplo, podemos ver como evoluem os gráficos de  y  quando os parâmetros a, b ou c variam (ver RPM 41/07). Outra opção de atividade é poder vislumbrar uma família de curvas, por exemplo os cardióides,  ,  variando-se o parâmetro a.

Duas novas interessantes seções foram incluídas no Winplot a partir de setembro deste ano, e já estão disponíveis: Polinômio e Adivinhar. A seção Polinômio cria equações polinomiais (até grau 8) que passam por determinados pontos (iniciais). Inicialmente são plotados três pontos arbitrariamente e é exibida uma janela no modo "editar-polinômio". Com o botão esquerdo do mouse é possível arrastar os pontos pela tela. O botão direito é usado para adicionar ou deletar pontos e, conseqüentemente, aumentar ou reduzir o grau do polinômio. A seção Adivinhar é constituída por uma janela gráfica 2D especial, que mostra gráficos (de polinômios ou funções racionais, por exemplo) aleatoriamente e desafia os participantes a identificá-los.

Acreditamos que professores da 8^a série do ensino fundamental e do ensino médio, bem como alunos e professores de cursos do ensino superior, poderão desenvolver várias atividades com o Winplot, pela sua facilidade de manuseio e diversidade de recursos didáticos.  Existem ainda pequenos erros na tradução, que serão corrigidos nas versões posteriores.

Os interessados em maiores informações ou em apresentar sugestões podem comunicar–se no endereço adelmo.jesus@unifacs.br    ou  adelmo@ufba.br 

Após a leitura de vários autores de textos do ensino médio, verifiquei que muitos cometem um mesmo erro ao estudar os sistemas de equações lineares, apesar de livros publicados pela SBM - Sociedade Brasileira de Matemática e de artigos publicados na RPM (23 e 32) já terem abordado o assunto e chamado a atenção para o erro. Na minha cidade do Recife, vários colegas ainda continuam a enunciar e aplicar de um modo errado o famoso Teorema de Cramer, apesar de minhas críticas, o que é compreensível, pois fica difícil informar aos alunos que o livro adotado está errado.

Dado um sistema linear de n equações e n incógnitas:

Se  det (A) 0,  o sistema é possível e determinado.

Se det (A) = 0, o sistema não é determinado; logo, será possível e indeterminado ou impossível.  

Alguns livros do ensino médio ainda escrevem erradamente o seguinte:

Teorema: Se det (A) 0,  o  sistema é determinado.

Se det (A) = 0,  o sistema é:

Indeterminado se 

Impossível se  ,

sendo    os determinantes obtidos, substituindo na matriz dos coeficientes a coluna da variável pela coluna dos termos independentes.

Para sistemas de duas equações com duas incógnitas, o resultado é verdadeiro, mas já para sistemas de três equações e três incógnitas podemos mostrar que o enunciado não é correto:

Da segunda equação, concluímos que o sistema é impossível. Mas:

De acordo com o teorema (?) o sistema é indeterminado e não impossível, o que o exemplo mostra que é falso.

Um auxílio dispensado pelos livros didáticos é a interpretação geométrica de um sistema linear, o que é uma pena, pois facilita muito o entendimento da situação apresentada pelo sistema.

Uma equação do 1^o grau com duas variáveis representa, no plano cartesiano, uma reta, e um sistema de duas equações com duas variáveis será indeterminado ou impossível se as retas forem paralelas. O sistema é indeterminado se as retas são paralelas e coincidentes e impossível se as retas são paralelas e distintas.

coeficientes e os termos independentes serão proporcionais e então teremos,  det(A)=0, _x=_y=0 O sistema será impossível se as retas são paralelas e distintas, logo sem a proporcionalidade com os termos independentes.

Uma equação do 1^o grau com três variáveis ax+by+cz=d  representa, no sistema tridimensional de eixos, um plano. (Ver RPM 32.)

Do mesmo modo que as retas, dois planos são paralelos se os seus    coeficientes são proporcionais e, nesse caso, podemos considerar um sistema  (formado por três planos paralelos e distintos dois a dois), com  det (A) = 0, e x=y=z=0   (todos os determinantes têm duas colunas proporcionais) e impossível (e não indeterminado).