Sergio D. Assumpção
Renata M. Ehlers
Júlio C. S. Sanches
Porto Alegre, RS
 

Antônio Luiz Pereira
IME, USP

     Introdução

Ampliar, reduzir, rotar, inverter, deformar imagens atualmente são operações tão simples que podem ser realizadas quase sem pensar, basta um “clicar e arrastar” e tudo está pronto. A informática proporciona, mesmo para aqueles sem talento algum para o desenho, uma infinidade de recursos para facilitar a manipulação de imagens. Mas como eram feitas essas transformações antes dos avanços tecnológicos?

A resposta a essa pergunta foi encontrada em alguns livros que descrevem sistemas articulados desenvolvidos para fins específicos. Exemplos simples de sistemas articulados são os guarda-chuvas ou o sistema que ligava as rodas das antigas locomotivas a vapor. De modo geral, um sistema articulado consiste em um conjunto de hastes interligadas por pontos fixos e ou móveis, permitindo-lhes uma série de movimentos pré-definidos que visam à realização de uma determinada tarefa.

Nossas pesquisas resultaram em algumas surpresas, como a de, em algumas lojas de material para desenho, ainda poderem ser encontrados pantógrafos, sistemas destinados a ampliar ou reduzir figuras. A origem do pantógrafo é desconhecida, mas há registros de que já era utilizado, por alguns povos, mesmo antes de Cristo. Também descobrimos que James Joseph Sylvester (1814-1897), matemático bastante conhecido por seus estudos na área de Álgebra, deu atenção aos sistemas articulados, desenvolvendo um sistema destinado a realizar rotações de figuras (rotor de Sylvester). Outro matemático que trabalhou com esses instrumentos foi Kempe (1841-1920), sendo inventor de dois sistemas, um que permite refletir figuras e outro que permite transladá-las.

Apresentaremos neste artigo o pantógrafo e o rotor, instrumentos mecânicos de fácil construção, descrevendo as transformações que realizam e demonstrando os teoremas que comprovam o seu funcionamento.

 

     1.  Ampliando figuras  

Fixado um ponto  F  no plano e dado um número real  , a homotetia de centro  F  e razão  k  é a transformação  H  que a cada ponto  S  do plano associa o ponto    tal que  .  Pode-se mostrar [2] que, se  J  é uma figura, então    é semelhante a  J  com razão de semelhança  k.  Em linguagem corrente, diz-se que    é uma ampliação de  J  se   para alguma homotetia  H  com   (e uma redução se  ).

O pantógrafo é um sistema articulado que realiza mecanicamente a ampliação (ou redução) de figuras. Ele consiste essencialmente em quatro hastes,  AL,  AF,  CS  e  BS  conforme ilustrado na figura. O sistema é montado como na figura, sendo articulado nos pontos  A,  B,  C  e  S  de forma a permitir rotação das hastes em torno desses pontos. O instrumento deve ser montado de forma que  ABSC  seja um paralelogramo e de forma que, na posição inicial (e portanto em qualquer outra como veremos),  S  esteja no segmento  FL.

Para usar o instrumento, fixamos, numa mesa, o ponto F, colocamos um lápis em L e fazemos a ponta seca S percorrer a figura que se quer ampliar.

(Pergunta: Que figuras podem ser ampliadas ou, mais precisamente, fixado F,  em qual região do plano podem estar os pontos das figuras a serem ampliadas?)

Usualmente são feitos vários furos em  AL  e  AF  de modo a permitir a montagem em outras configurações.

Por razões práticas, é conveniente que as hastes  AF  e  AL  tenham o mesmo comprimento, mas isso não é realmente necessário para que o instrumento funcione. O que se precisa é que a aplicação   seja uma homotetia e da definição vemos que, para tanto, basta que  S  esteja


para quaquer posição do pantógrafo com  F  fixo. Vamos verificar que isso realmente ocorre. Esse fato é conhecido como o Teorema do pantógrafo.

 

A figura representa o pantógrafo depois de “deformado” em relação à posição inicial. , , ... indicam as novas posições dos pontos  A, B, ... Na posição inicial os triângulos  FAL  e  SBL  são semelhantes, portanto,


 

     2.  Rotando figuras  

Fixado um ponto  F  em um plano  p  orientado (como é usual, suporemos que a orientação é a anti-horária) e estabelecida uma medida de ângulo , a rotação de centro  F  é a transformação R  que, a cada ponto  S  do plano, associa o ponto   de tal forma que se tenha , ,  e também se tenha o sentido de  L  para    (tomando  F  como origem) positivo.  

 

O rotor de Sylvester consiste, essencialmente, em quatro hastes articuladas formando um paralelogramo  ABCF  e mais duas hastes AS e CL, com   e , articuladas em A e C, formando um ângulo de mesma medida  a  com os lados AB e CB,  respectivamente.

Para que a medida, , do ângulo, permaneça constante durante a operação do instrumento, acrescenta-se ao conjuntoduas réguas de fixação (ver detalhe na figura) em  AB  e CB.

Quando a ponta seca  S  percorrer uma figura  J,  o lápis em  L  percorrerá uma figura que é uma rotação de ângulo  .  Para verificar que isso de fato ocorre precisamos mostrar que, em qualquer posição do rotor com  F  fixo, temos  .

 

     3.  Outras transformações geométricas  

Como mencionamos na introdução, podemos construir sistemas articulados que realizam translações ou reflexões. Para o leitor interessado recomendamos a referência [3] na bibliografia.  

 

 

Referências bibliográficas

[1]  BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo, Edgard Blücher, 1974.

[2]  Lima, Elon L. Coordenadas no Plano. Coleção do Professor de Matematica, Rio de Janeiro, SBM, 1992.

[3]  PINHEIRO, Vírgilio A. Geometografia, volume 2. Rio de Janeiro. Aula Editora, 1986.