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Roberto Ribeiro Paterlini
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Problema do retângulo inscrito: Dado um triângulo retângulo, dentre os retângulos inscritos conforme a figura, encontre o que tem área máxima. |
Eis o mesmo problema com um enunciado mais amigável:
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Problema da casa: (Vestibular da FUVEST) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos de medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como na figura. a) Exprima y em função de x. b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima? |
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A idéia usual para a resolução deste problema é observar a semelhança entre os triângulos da figura e obter, por exemplo, a relação
,
donde
. Usando essa relação para substituir y em
temos
, função que nos dá a área do retângulo. A função
quadrática A tem ponto de máximo, e nosso problema estará resolvido
quando encontrarmos a abcissa desse ponto, o vértice da parábola que é o gráfico
da função. As raízes de A são 0 e 30, cuja média aritmética é 15.
Portanto,
é a abcissa do vértice, e o valor correspondente para y
é 10. Vemos que a altura e a base do retângulo inscrito de área máxima são a
metade, respectivamente, da altura e da base do triângulo.
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Em um triângulo retângulo qualquer com
base b e altura h o resultado é o mesmo: o retângulo
inscrito de maior área (entre os retângulos posicionados como na figura) é o
que tem base
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Usando dobradura |
No ano de 2000 estava lecionando uma disciplina de problemas para alunos do Curso Noturno de Licenciatura em Matemática da UFSCar, e certo dia sugeri aos estudantes resolverem esse problema. Minha expectativa era que utilizassem o método descrito acima, e de fato muitos assim o fizeram. Mas tive a agradável surpresa de ver que a estudante Tatiana Gaion Malosso, juntamente com os colegas de seu grupo de trabalho, resolveu facilmente o problema usando dobraduras. Quando incentivamos a criatividade, podemos ver as soluções mais interessantes e aprendemos a pensar com liberdade.
Vamos descrever a solução por dobradura apresentada pela estudante. Tomamos uma folha de papel e a cortamos no formato de um triângulo retângulo ABC.
Dobramos o papel de modo a fazer coincidir o ponto A com o ponto B, e em seguida dobramos de modo a fazer coincidir o ponto C com o ponto B, como nas figuras abaixo.
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Desdobrando e voltando ao triângulo
original, vemos que marcamos duas linhas que se encontram no ponto médio de
.
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De fato, por construção, D é
o ponto médio de
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As duas linhas que marcamos no triângulo determinam um retângulo cuja altura é a metade da altura do triângulo e cuja base é a metade da base do triângulo. Observamos que o triângulo original ficou subdividido em três figuras, dois triângulos menores e o retângulo, e a dobradura deixa claro que a soma das áreas dos dois triângulos menores é igual à do retângulo. Portanto, a área do retângulo é a metade da área do triângulo original.
Vamos verificar, usando dobradura, que
esse retângulo é o de maior área que se pode obter. Tomamos um outro retângulo
inscrito,
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Dobramos o papel na linha
(veja as figuras) e tracejamos o segmento
indicado na terceira figura. Em seguida dobramos na linha 
passando pelo ponto A marcado.
O triângulo original fica subdividido em
quatro regiões, 1, 2, 3 e 4, de modo que somando as áreas de 1 e 3 obtemos a
área de 2 (confira na figura). Mas, como temos a área de 4, vemos que a área de
2 é menor do que a metade da área do triângulo. Portanto, o retângulo
não tem área máxima
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Outros desenvolvimentos |
Em qualquer triângulo existe um retângulo
inscrito. De fato, um triângulo tem pelo menos dois ângulos agudos. Na figura a
seguir supomos 
e
ângulos agudos e construímos o segmento
paralelo a
. Em virtude de serem
e
agudos, os segmentos perpendiculares a
por D e E intersectam
, e obtemos um retângulo inscrito no triângulo.
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O leitor pode observar que em um triângulo podem existir retângulos inscritos em até três posições diferentes, com um lado do retângulo sobre um lado diferente do triângulo. |
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Qualquer que seja a posição, a maior área do retângulo inscrito que se pode obter é a metade da área do triângulo.
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Podemos novamente usar dobradura para
encontrar o retângulo inscrito de área máxima. Seja
um triângulo qualquer, e suponhamos que
e
são agudos. Cortamos um papel na forma do triângulo dado.
Usando dobradura, marcamos a altura do triângulo relativa ao lado
. Dobramos o triângulo de modo a fazer coincidir o ponto
C com o pé desta altura no lado
. Continuamos procedendo de modo análogo ao caso do
triângulo retângulo.
Referências bibliográficas
[1] MALOSSO, T. G., Nucci E. e Yshimine, M. K. 6a Lista de exercícios da disciplina ensino de Matemática através de problemas. Curso Noturno de Licenciatura em Matemática. UFSCar, 2000.
[2] IEZZI, G., Dolce, O., Degenszajn, D. M. e Périgo, R. Matemática. Volume Único. São Paulo: Editora Atual., 1998.
[3] LIMA, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. e Morgado, A. C. A Matemática do ensino médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática., 1996.
e
é paralelo a
, logo, E é o ponto médio de
. Da mesma forma, F é o ponto médio de
e
é paralelo a
, logo,
é o ponto médio de
, e
. 
