Um leitor do Ceará pediu que a RPM provasse:   .

RPM: Provar essa desigualdade equivale a provar que  , ou, dividindo a

Usando a fórmula do binômio de Newton e juntando os termos semelhantes, obtém-se:

.

Um leitor enviou o que ele chamou de “dúvida cruel”: Gostaria de saber de onde surgiu e por que a palavra AVOS para denominadores maiores do que 10.

RPM: A palavra avos é derivada da terminação de oitavo (oit’avos) para indicar parte alíquota.

(A resposta foi dada por Noé Ribeiro, que cita como fontes o Dicionário de

questões vernáculas, de Napoleão Mendes de Almeida, o Dicionário Aurélio e o Minidicionário Sacconi.)

Um leitor de Curitiba encontrou no site da UERJ o seguinte problema:

Uma linha poligonal fechada de três lados limita um triângulo de perímetro . Se ela gira em torno de um dos lados, gera uma superfície de área S igual ao produto de pelo comprimento da circunferência descrita pelo baricentro G da poligonal. A figura mostra a linha (ABCA) que dá uma volta em torno de BC.

A.     Esboce a figura e indique o cálculo da área de sua superfície que é igual a

B.     Calcule a distância r do baricentro G dessa linha ao eixo de rotação.

Diz o leitor:

Usando a definição do enunciado, encontrei para a parte B o valor 1,5, que é a resposta da UERJ. No entanto, resolvendo analiticamente e       geometricamente, encontrei o

RPM: Não há erro.

O que acontece é o seguinte:  Triângulo  pode ser entendido como uma região do plano, ou pode ser entendido como uma reunião de 3 segmentos.

         Triângulo como região do plano                   Triângulo como linha poligonal

O baricentro da “região triangular” é um ponto G cuja distância ao cateto de comprimento 3 é 4/3: basta observar que, escolhido um sistema de coordenadas com os eixos ao longo dos catetos do triângulo, as coordenadas dos 3 vértices serão  (0, 0), (4, 0) e (0, 3)  e, sendo a abcissa do baricentro a média aritmética das abcissas dos vértices, a abcissa de G é (0 + 4 + 0)/3 = 4/3.  O baricentro da “linha poligonal triangular”, mencionado no problema, é um ponto  G  cuja distância ao cateto de comprimento  3  é  3/2.

Pode-se obter esse último resultado sem usar a fórmula proposta no problema, da seguinte maneira:

O baricentro de um segmento (suposto de densidade uniforme) é o seu ponto médio e a “massa” atribuída a esse centro é proporcional ao seu comprimento.  No caso do problema proposto, supondo os vértices do triângulo com coordenadas  (0,0) , (4,0)  e  (0,3) :

As coordenadas do baricentro do sistema constituído por esses três pontos médios são:

.

A “fórmula” dada no problema é um dos teoremas de Pappus. Muitos livros de Cálculo trazem os dois teoremas de Pappus, um referente a volume de sólidos e outro referente a área de superfícies.  

Um leitor do Rio de Janeiro escreveu em março: Sabemos que os números  e e  são irracionais. E quanto à soma  + e  e ao produto  e ?

RPM: Recentemente ficamos sabendo que se trata de um problema aberto. Ninguém, por enquanto, sabe provar que os números acima são, ou não, racionais.

Mas o professor J. A Breves Filho deu um argumento muito simples e elegante, mostrando que pelo menos um desses números é irracional. Disse ele:

Se    e    fossem racionais,  e  e  seriam soluções da equação . Mas isso é absurdo, pois   e  e  são transcendentes, isto é, não são soluções de nenhuma equação algébrica com coeficientes racionais.

A seqüência de Fibonacci  (ver RPM 45) é definida pela fórmula de recorrência

  para todo  .

É, portanto, a seqüência dada por  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .

Um leitor de São Paulo nos pede para verificar as duas propriedades algébricas abaixo e interpretá-las geometricamente.

a)     

b)     

RPM: Vejamos inicialmente as provas destas identidades. Como    para todo  ,  segue que

Somando membro a membro, obtemos  ,  estabelecendo  a).

Por outro lado,    de modo que    para todo  .  Assim,

Somando membro a membro, chegamos à soma procurada

.

Uma possível interpretação para essa identidade é a decomposição de um retângulo de lados    e    em  n quadrados de lados  .  Veja na figura abaixo uma situação particular.

Multiplicando-se ambos os membros de b) por  p, obtemos

.  O lado esquerdo representa a soma das áreas de  n  círculos de raios  .  O lado direito é a área de uma elipse de semi-eixos    e  .

No retângulo anterior construímos a espiral composta por arcos de 90^o de circunferências cujos raios são os termos consecutivos da seqüência de Fibonacci.

Multiplicando ambos os membros de a) por  obtemos
primeiros arcos de circunferência é igual a    da circunferência de raio  .