2. 36 alunos de uma determinada escola prestaram exames vestibulares em duas universidades,  A  e  B,  sendo que, desse grupo de alunos, todos os aprovados em  A  também foram aprovados em  B  e o número de aprovados em  B  foi o triplo do número de aprovados em  A.  Se foram aprovados menos da metade e mais de um terço desses alunos, quantos não foram aprovados em nenhuma das duas universidades?

(Ver respostas na seção "Os primos esquecidos")
 

190.  Escreva o número 512 como uma soma de dois números inteiros positivos, um dos quais é múltiplo de 11 e o outro é múltiplo de 13. Seria possível resolver o problema se fosse solicitado que um fosse múltiplo de 15 e o outro múltiplo de 21? Justifique sua resposta.

Solução

Supondo que existam inteiros positivos  a  e  b  tais que

,

concluímos que    é um número par. Além disso,    e, então, não é difícil verificar que o maior valor possível para    é  506  e o menor é  440, o que implica    Resultam as possibilidades:

 e ;    e ;    e ;    e .

A resposta para a pergunta  “Seria possível resolver o problema se fosse solicitado que um fosse múltiplo de 15 e o outro múltiplo de 21?”  é:

Não existem  a,  b  inteiros positivos tais que

 pois  512  não é divisível por  3.

(Solução enviada por diversos leitores.)
 

191. Determine três números inteiros positivos, distintos, cujos quadrados estejam em progressão aritmética. Justifique sua resposta.

Solução:

É fácil exibir três números com a propriedade exigida, como, por exemplo, 1, 5 e 7 (PA: 1,  25,  49).  Vamos, agora, apresentar uma solução genérica para o problema.

Sejam a, b, c inteiros positivos, distintos tais que , e  estejam em PA. Mostraremos que existem x, IN  tais que .  De fato:

Como , temos que e são ambos pares ou ambos ímpares, logo, o mesmo acontece com  a  e  c.

Assim, existem  x,  y IN tais que

Reciprocamente, sejam  b,  x,  y  inteiros positivos tais que  .

As soluções naturais de    são dadas (ver RPM 7, p.49 e RPM 18, p.10), por:

Se    e  ,  mostremos que  ,    e    estão em PA. De fato, temos:

;  ;    e

.

Logo, as triplas  (a, b, c)  de inteiros positivos, distintos, cujos quadrados estão em PA, são dadas por

192.  Sejam  A₁,  A₂,  A₃,  A₄,  A₅  e  A₆  os vértices de um hexágono convexo equilátero, tal que  ,  onde    é a medida do ângulo interno no vértice  A_i.  Prove que  ,    e  .

Solução:

O hexágono equilátero A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₆  é tal que .   Não podemos  admitir outras condições adicionais como regularidade, paralelismo entre lados, etc.

Seja  O A₁ A₃  o triângulo obtido pela reflexão do triângulo  A₁ A₂ A₃  em torno do lado  A₁ A₃.

Os triângulos  P A₃ A₅  e  Q A₅ A₁  são obtidos de forma análoga.

Como  ,  segue que  ,  e o hexágono inicial fica decomposto em três losangos.

Além disso, na figura temos: , o que implica    e    Mas no triângulo  O A₃ A₅,  ,  logo,  .

De modo análogo mostra-se que    e  .

193.  Para que valores de  n  é possível construir uma seqüência de segmentos  A₁A₂,  A₂A₃, ... ,    tais que  ,  ,  ... ,    e tais que quaisquer dois segmentos adjacentes sejam perpendiculares?

Solução:

A resposta é:  existe a poligonal se e somente se  n  é um múltiplo de 8.

Mostremos que a condição  “n é um múltiplo de 8” é necessária e suficiente.

Não há perda de generalidade em supor que o ponto inicial da construção dos segmentos é a origem de um sistema cartesiano de coordenadas ortogonais do plano e que os segmentos são paralelos aos eixos. Além disso, cada segmento pode ser representado por um número com sinal que indica seu comprimento e orientação. Podemos ainda supor o primeiro segmento   de medida  +1 e horizontal.

A condição “n é um múltiplo de 8” é suficiente, como mostram as seqüências de segmentos representados pelos números abaixo:

Seqüência 1

Seqüência 2

Mostremos que a condição também é necessária:

Inicialmente, observe que  n  é par, pois o primeiro segmento é horizontal e o último segmento, sendo perpendicular ao primeiro, é vertical. Além disso, a quantidade de ímpares entre  1  e  n  (que é igual a n/2) deve ser par, uma vez que são ímpares consecutivos e sua soma com sinal deve ser zero. Isso implica  n  múltiplo de  4.

A soma, com sinal, dos pares consecutivos entre  2  e  n  também deve ser zero:  

Sendo    par, a quantidade de ímpares na última soma é par, ou seja, a quantidade de pares em    é par. Logo,  n  é múltiplo de  8.

(Alguns leitores enviaram soluções parciais deste problema, mas não recebemos soluções que provassem a condição necessária.)