Cláudio Possani Élvia Mureb Sallum Flávio Wagner Rodrigues   IME-USP Soluções e Sugestões  RPM – Problemas Caixa Postal 66281 05315-970 São Paulo, SP        Problemas    194.   Dado um quadrado  ABCD,  quantos triângulos equiláteros existem, que possuem os três vértices sobre os lados do quadrado? Justifique.                                             (Enviado por Chico Nery, SP.)   195. Calcular o raio da circunferência esboçada na figura ao lado. (Do Concurso do Colégio Militar, enviado por Rizio Sant’Ana, MG.) 196.   Usando as letras  A,  B  e  C  podemos formar    “palavras” de  n  letras. Quantas dessas palavras não possuem dois ou mais A’s adjacentes? (Retirado do livro Problem-solving strategies, de Arthur Engel.)   197.   No jogo da Quina, administrado pela Caixa Econômica Federal, em cada sorteio são escolhidas cinco dezenas distintas entre as dezenas  01, 02,  ...,  80.  Em cada aposta, o jogador pode escolher entre o mínimo de cinco e o máximo de oito dezenas. Você ganha um prêmio se acertar três, quatro, ou todas as cinco dezenas sorteadas. Um jogador, com o objetivo de garantir ao menos um prêmio de quadra, escolheu dez dezenas, dividiu-as em cinco blocos de duas dezenas cada um e em seguida agrupou esses blocos quatro a quatro. Com isso ele obteve cinco jogos de oito dezenas cada um. Suponha que as cinco dezenas sorteadas pela Caixa estavam entre as dez que ele escolheu. Qual é a probabilidade condicional de que ele ganhe o prêmio da Quina?          ... e probleminhas   1.       Para fazer de cabeça: Se uma garrafa e a sua tampa custam $110,00 e a garrafa custa $100,00 a mais que a tampa, quanto custa a tampa?                           (Enviado por Jorge Luís R. Silva, CE.)   2.       Três atletas disputavam o melhor tempo para uma corrida de 100 metros. Enquanto um corria, outro cronometrava. No final, o cronômetro de Marcelo registrava 10,7 segundos, o de Roberto, 10,8 segundos e o de Eduardo, 10,9 segundos. Eduardo deu os parabéns ao vencedor. Qual foi a classificação?   (Enviado por Jorge Luís R. Silva, CE.)   3.       Redesenhar as figuras ao lado, mexendo apenas um palito, para tornar corretas as igualdades. (Da Olimpíada Regional de Matemática em João Pessoa – 2000.)     (Ver respostas na seção "Cartas do leitor")        Soluções dos problemas propostos na RPM 44   186. Dados os pontos A e B no primeiro quadrante, quais as condições sobre suas coordenadas para que exista uma trajetória “tipo bilhar” como a indicada na figura? Solução:   Dados    e    no interior do 1o quadrante, existe uma trajetória “tipo bilhar” como indicada na figura se, e somente se, a reta  , que passa por (a1, a2) e (b1, b2), intercepta o 1o quadrante num segmento, isto é, se e só se   e ,  logo, se e só se    , ou  . (Solução enviada por João Linneu do A. Prado, SP.) Observação: Muitos leitores resolveram este problema estabelecendo relações entre as coordenadas dos pontos  A  e  B  e os ângulos    e  .  Observamos que o enunciado pede explicitamente “condições sobre suas coordenadas”.     187.  Na figura,  ABC  é um triângulo equilátero, O é o centro da circunferência inscrita e  BE  é igual à altura do triângulo. Determinar a área do triângulo  ODE  em função do lado.   Solução: Como  área área área área  e área e (Solução enviada por vários leitores.)   188.  Encontre todos os números naturais de dois dígitos tais que sua soma com o número formado pelos mesmos dígitos em ordem contrária resulta um quadrado perfeito. Solução: Sejam  a  e  b,  respectivamente, os algarismos das dezenas e das unidades do número procurado. Como    é um quadrado perfeito, então  11 é um divisor de  .  Observando que   ,  resulta  .  Verificando as possibilidades para  a  e  b,  encontramos os seguintes números: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 e 92. (Solução enviada por diversos leitores.)     189.   Um L-treminó é uma figura plana como a do desenho (ou uma rotação dela). Considere um “tabuleiro de xadrez” de tamanho  do qual se remove uma qualquer das casas. Mostre que o restante do tabuleiro pode ser coberto por L-treminós sem superposição.                                 Solução: Faremos a demonstração por indução em  n. Para  ,  o tabuleiro tem    casas, e ao retirar-se uma casa obtém-se exatamente um L-treminó. Portanto, o resultado é verdadeiro para  . Supondo que a propriedade verdadeira para um certo valor de  k,  k Î IN,  k > 1,  isto é,  para tabuleiros de    casas, vamos provar que o resultado é verdadeiro para  ,  ou para tabuleiros com    casas. Podemos dividir o tabuleiro  de    casas, através de retas que passam pelo seu centro, em  quatro tabuleiros iguais, cada um com    casas. A casa retirada pertence a um dos quatro tabuleiros menores e este pode ser coberto por L-treminós pela hipótese de indução. Colocamos um L-treminó na posição central do tabuleiro de     casas, cobrindo uma casa de cada um dos outros três tabuleiros menores. Podemos considerar esses tabuleiros com   casas com uma descoberta. Novamente, pela hipótese de indução, podemos cobri-los com L-treminós sem superposição. Assim, o tabuleiro de    casas pode ser coberto sem superposição de peças.    (Solução enviada por diversos leitores.)