RPM 46 - Provão 2001

Parte C - Questões Abertas Específicas para os Formandos de Licenciatura 6

Em um livro didático para a terceira série do ensino médio encontra-se:

(1) "Quando todos os coeficientes de um polinômio são iguais a zero, ele é chamado de polinômio nulo ou identicamente nulo e, nesse caso, não se define seu grau."

Algumas páginas adiante, encontra-se:

(2) "Divisão

Efetuar a divisão de um polinômio A(x) pelo polinômio B(x) é determinar um polinômio Q(x) e um polinômio R(x) tais que: A(x) = B(x).Q(x) + R(x) com grau R(x) < grau B(x).

Denotamos:

A(x): dividendo; B(x): divisor; Q(x): quociente; R(x): resto.

Quando R(x) = 0, dizemos que a divisão é exata."

a) Aponte uma incoerência entre o texto (1) e o texto (2).

b) Proponha uma correção que elimine a contradição entre eles.

Em alguns cursos os professores são aconselhados a utilizar em suas aulas um tipo de material concreto denominado “Blocos Lógicos” ou “Blocos de Atributos”.

Esse material é composto por 48 peças, geralmente confeccionadas em madeira, borracha ou plástico rígido, apresentadas em três cores, em dois tamanhos, em duas espessuras (uma considerada como “grossa”, e outra como “fina”) e em quatro formas diferentes (geralmente denominadas “quadrado”, “retângulo”, “triângulo” e “disco”) .

Este material foi apresentado aos participantes de um curso de treinamento de professores, como um exemplo de material didático para ser utilizado na introdução ao ensino do conceito de número, de noções de sistema de numeração e de números naturais.

Um dos professores participantes do curso fez a seguinte observação:

Professor X: “Apesar de estes blocos serem geralmente utilizados no ensino de noções da aritmética dos naturais, eles não são adequados do ponto de vista da sua correção geométrica, se considerarmos os nomes das formas envolvidas e a espessura como uma das características enfatizadas pelo próprio material com que as peças são confeccionadas, pois isto poderá levar o aluno a confundir figuras planas com espaciais”.

Um outro professor, no entanto, contra-argumentou, dizendo:

Professor Y: “Como estamos utilizando estes blocos para trabalhar conceitos aritméticos e não estamos tratando de conceitos geométricos, não precisamos preocupar-nos com esses argumentos que o Professor X está considerando.”

a) Qual desses dois professores apresentou opinião mais coerente com os objetivos do ensino da Matemática propostos pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, no que diz respeito ao estabelecimento de conexões entre temas matemáticos de diferentes campos?

b) Do ponto de vista da Geometria, como se justifica a argumentação do Professor X, levando-se em conta que todos os materiais concretos manipuláveis possuem uma espessura, ainda que mínima?

Em alguns livros didáticos de Matemática são apresentados resultados práticos (objetivos, segundo os autores), que colocam o aluno como um aplicador de fórmulas surgidas não se sabe de onde, e sem explicitar para o estudante a estrutura lógico-dedutiva da Matemática. Muitos desses livros apresentam, como uma receita mágica, a fórmula que resolve as equações quadráticas. Sendo a, b e c números reais tais que a 0 e , demonstre que, se x é

Sejam P o plano euclidiano e f uma função de P em P. São dadas as seguintes definições:

• um ponto Q de P é um ponto fixo por f se f (Q) = Q;
• uma reta r de P é uma reta fixa por f se a imagem de r por f coincide com r;
• uma reta r de P é uma reta de pontos fixos por f se, para todo A de r, A é ponto fixo por f.

a) Indique se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação, justificando: "Se uma reta r é uma reta de pontos fixos por f, então r é uma reta fixa por f."

b) Enuncie a recíproca da afirmação enunciada em a).

c) Se a recíproca enunciada em b) for verdadeira, dê uma prova; se for falsa, dê um contra-exemplo.

Duas cidades, X e Y, estão situadas em lados opostos de um rio, que tem um curso retilíneo nesse trecho, conforme a figura. As duas cidades vão ser ligadas por uma ponte AB, perpendicular ao rio, de modo que a soma das distâncias XA + AB + BY seja a menor possível. Onde deverá ser localizada essa ponte?

Apresente, justificando, a resposta a esse problema.