Quando eu era aluno de um curso pré-vestibular, meu professor de Álgebra propôs o problema: Resolver a equação irracional  

,

usando apenas técnicas aprendidas no ensino fundamental (1^o grau), portanto, sem usar resultados sobre raízes de equações algébricas, vistos no ensino médio (2^o grau). Aparentemente não parecia nada fora do comum, mas...

Qual é a primeira ação natural? Elevar ambos os membros ao quadrado, não é?  

.

Elevando novamente ao quadrado:

.

“E agora, José?” Como resolver essa equação usando apenas recursos do ensino fundamental? Acredite, é possível! E esse é um problema desafiador, do tipo que devemos oferecer aos nossos alunos, pois exige alguma criatividade e exercita várias operações algébricas. Vejamos:

Inicialmente observamos que, sendo a raiz quadrada um número não negativo, devemos ter  .

Fazendo a substituição ( ), obtemos e a equação fica  ,  logo,  .

Como não adianta elevar ao quadrado novamente, vamos tentar uma

fatoração e uma nova mudança de variável:

=

Fazendo a substituição  ,  temos

  e   e, então,

 ou 

e essa equação podemos resolver. Vejamos:

1^o)  se    temos a solução   [esta solução, em geral, nossos alunos perdem fazendo o cancelamento do termo ( )].

2^o)  se     temos     ou  ;

de    e  ,  temos  ,  mas então    portanto, não se pode ter   ;  logo, a única solução da equação em  z  é   ,  que faz    e, então,   .

Logo,    é a única solução real da equação proposta inicialmente.  

RPM: O que segue é uma transcrição adaptada de alguns resultados encontrados no livro Números: racionais e irracionais, de I. Niven, SBM, RJ, 1984, que decidimos publicar por julgar do interesse de nossos leitores.

São conhecidas as identidades trigonométricas

,  , 

  e

,

as quais, juntamente com a relação fundamental, , implicam

.

Fazendo    na última igualdade, obtemos:

.

Se escrevemos  x  no lugar de , obtemos a equação

,

que por construção tem    como raiz.

Aplicando a essa equação o conhecido resultado sobre raízes racionais de equações polinomiais:

Se , fração irredutível, é raiz de uma equação com coeficientes inteiros  a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+ a₁x + a₀ = 0 ,  então p  é divisor de a₀ e  q  é divisor de  a_n ,

substituindo-se na equação, um cálculo simples mostra que nenhum desses números é raiz; logo, a equação não tem raízes racionais e, portanto,    é um número irracional.

Também temos  .

Logo, se    fosse racional, então    seria racional, o que implicaria  racional, o que é uma contradição.

Portanto,    é irracional.

Usando    conclui-se, de modo análogo, que     é também irracional.

Generalizando, temos o resultado:

Se   for um ângulo tal que cos 2  é irracional, então  cos ,  sen   e  tg   são também irracionais.

A verificação de que    e    são irracionais se faz de modo análogo ao utilizado para   ,  usando as igualdades

.

Finalmente, se     fosse racional, então    seria racional e de

,

teríamos    racional e, novamente, concluiríamos que    é racional, uma contradição. Portanto,     é irracional.

Com repetidas aplicações do resultado anterior mostra-se que  ,   e     são irracionais, para, por exemplo, os valores de 

; ;    etc.