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Mario
Dalcín
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| Introdução |
Sabemos
que o circuncentro O, o baricentro G
e o ortocentro
H
de um
estão alinhados na
chamada reta de Euler (1707–1783) e que a distância GH
é o dobro de OG:
O,
G, H alinhados e
(ver [4]).
Temos
também que o centro P do círculo
dos nove pontos (ver [3]) é o ponto médio do segmento cujos extremos são
H e
O:
O,
P, H
alinhados e
|
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Resumindo: O,
G, P, H
alinhados e
|
Não
parece que o incentro I, ponto
de encontro das bissetrizes dos ângulos internos, sendo um dos pontos notáveis
do triângulo, também com direitos adquiridos, foi desprezado? Não
parece que ficou “sem vela nesse enterro”? Vamos, neste artigo, tentar
resgatar o papel do incentro.
1.
Consideremos
o
A'B'C'
formado pelos pontos médios
dos lados do
ABC
o incentro
I
do
ABC
A'B'C'
|
Temos
então: I,
G,
S
alinhados e
Até
que enfim o incentro I está participando
de algo! Mas, claro, “alegria breve”, já que o circuncentro
O
e o ortocentro H
possuem propriedades semelhantes. |
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Além
disso, aqui há participação de apenas três pontos, enquanto O,
G
e H
estão relacionados com um quarto ponto
P, mencionado na introdução deste artigo.
Pobre
incentro I, continua cumprindo um papel secundário. Será que “quem
nasce para apito nunca chega a ser corneta”?
2.
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(a) Sejam
D,
E,
F
os pontos de contato da circunferência inscrita (de centro I)
com os lados do DABC. Então
temos
Portanto, |
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que
é a chamada condição de Ceva (1647–1736) (ver [1]), suficiente para a
concorrência das retas determinadas por
AD, BE e CF. O ponto de interseção
comum, J, chama-se ponto de
Gergonne (1771–1859).
-
Que me dizem agora? -
pergunta I.
H, G
e O
calam-se.
(b)
Se
,
e
são os pontos simétricos
de D, E e
F,
em relação aos respectivos pontos médios dos lados do triângulo,
temos:
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|
Denotemos
por
o ponto comum de
concorrência dessas três retas, que também é chamado ponto de
Gergonne.
I
já não está tão sozinho, sente a presença dos pontos de
Gergonne J e
intimamente ligados a
ele.
(c)
Por
que considerar só a circunferência inscrita se há outras três
circunferências exinscritas que também são simultaneamente tangentes às
três retas que contêm os lados do triângulo?, pensa
I.
Imediatamente
constrói uma das circunferências exinscritas. Se
e U
são os pontos de contato das retas determinadas pelos lados
do triângulo com essa circunferência, observemos que:
ou
e,
como
e
, temos
.
Logo,
U
é tal que
(o ponto
U
“divide o perímetro” do triângulo em
. Mas também temos
. Logo,
e, como
, vem
e então,
, que implica
o que mostra que
D
e U
são simétricos com relação ao ponto médio do lado
CB
do triângulo. Portanto,
.
Repetindo
os procedimentos de (a),
(b) e (c) para os outros dois
vértices do
, podemos afirmar que os três
segmentos determinados por um vértice e pelo ponto de tangência da
circunferência exinscrita com o lado oposto a esse vértice são
concorrentes em um ponto chamado ponto de Nagel (1803–1882)
N, e que
.
3.
Dados
o incentro I e o baricentro G
do
ABC
marquemos um ponto
M sobre a semi-reta
IG
que satisfaça
.
Dessa
forma, como
, o
e o
são semelhantes, o que
implica
paralelo ao
AM.
Se
é o ponto de encontro
da reta determinada por AM
com o lado CB, vamos provar que
“divide o perímetro”
p do
em duas partes iguais,
isto é, que
Cálculo
de QM' :
Sendo
Q
o pé da perpendicular ao lado
BC,
por A,
de
resulta que
e
são semelhantes. Logo,
temos,
Cálculo
de DA'
:
Denotando
,
e
temos
,
. Então,
diferente da indicada na figura, o procedimento é análogo).
Cálculo
de BQ:
e, pela lei dos cossenos,
logo,
Concluindo,
procedimento é análogo).
Então,
e, repetindo o processo
com os outros vértices, B
e C, obtemos
Sendo
provamos que
I,
G,
N
estão alinhados e
-
Vocês têm algo para dizer agora? -
pergunta I, dirigindo-se a O
e H.
-
Não se esqueça que somos quatro os pontos alinhados e não três -
contestam O
e H.
-
Então estamos em igualdade de condições -
responde I.
O
e H
olham-se sem entender.
-
Vejam -
diz I:
4.
|
Do
que foi demonstrado em 1
e 3,
temos I,
G,
S
e N
alinhados e
Lembrando
o resultado da Introdução, |
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Comentário
do Prof. Sérgio Alves:
|
A
verdadeira vingança do incentro |
O
ortocentro H
e o circuncentro O
são pontos tipicamente euclidianos, no sentido, que a prova de sua
existência depende do Axioma das Paralelas (em geometrias não euclidianas, como, por
exemplo, a hiperbólica, podemos encontrar triângulos nos quais as três
retas mediatrizes são paralelas, não determinando, portanto, o ponto O). Entretanto, mesmo
nas geometrias não euclidianas, as três bissetrizes são sempre
concorrentes em um único ponto, garantindo a existência do incentro
I. Conseqüentemente, são os pontos
H e O que devem morrer de
inveja do I.
RPM:
Agradecemos aos
professores Antônio Luiz Pereira, Claudio Possani e Sérgio Alves a
leitura cuidadosa e sugestões para o artigo.
Referências
bibliográficas
[1]
COXETER, H. S. M. e GREITZER S. L. Geometry revisited. New
York: Random House, 1987.
[2]
EVES, H. Estudio de las geometrias.
México, 1969.
[3]
RPM
14. O círculo dos nove
pontos, Plácido Rogério Pinheiro.
[4]
RPM
43. Coordenadas para os centros do
triângulo, Augusto C. Morgado.
