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Existe raiz
(
Um leitor do Maranhão pergunta: Como se
justifica que o conjunto solução da equação
RPM:
O problema está no uso do símbolo
O número e
Uma professora de Tocantins pergunta:
Qual é a origem do número neperiano e? Por que esse número é
representado pela letra “e” ? O nome “neperiano” é uma homenagem a John Napier?
Onde poderíamos aplicar a função exponencial
RPM: Essas perguntas talvez inspirem um futuro artigo na RPM tal a riqueza do tópico. Aqui, porém, seremos objetivos, tentando responder às perguntas ao pé da letra.
O número e
(mais conhecido como número de Euler, e não como número neperiano) foi
estudado pela primeira vez por Leonhard Euler por volta de 1720, embora a
sua existência esteja implícita nos trabalhos de John Napier, um dos
inventores dos logaritmos. Euler também foi o primeiro a usar a letra e,
em 1727, para designar esse número. Os logaritmos inventados por Napier
em 1614 não dependiam da idéia de base porém estavam numericamente relacionados,
embora não fossem iguais, aos logaritmos hoje chamados naturais ou neperianos.
Grosso modo, Napier, para construir sua tábua de logaritmos, usou potências do
número
Em 1667, Gregory mostrou como achar
logaritmos calculando áreas de paralelogramos inscritos entre uma hipérbole e
suas assíntotas. Esses fatos e os trabalhos de Newton e Leibniz sobre séries de
potências serviram de base, para os trabalhos de Euler sobre o número e.
Aos 21 anos, Euler escreveu: “Para o número cujo logaritmo é 1, escreva
e,
A grande importância do número e no
cálculo vem do fato de
(As informações acima foram tiradas de livros de História da Matemática citados freqüentemente na RPM.) Aplicações: O número e ocorre naturalmente quando o aumento ou diminuição de uma grandeza se faz proporcionalmente ao valor da grandeza num dado instante. Os exemplos a seguir foram tirados do livro Logaritmos, de Elon Lages Lima. Juros contínuos: Se os juros de um capital C, a uma taxa de k por cento ao ano, forem capitalizados continuamente, após t anos o capital será igual a
Desintegração radioativa: Um
corpo de massa M formado por uma substância radioativa cuja taxa de
desintegração é
Cortando uma esfera A interseção de uma superfície esférica S com um plano p passando pelo seu centro é uma circunferência C de mesmo centro e mesmo raio que S. Ela é chamada circunferência máxima de S. Um leitor de Ribeirão Preto, SP, nos envia duas questões a esse respeito. 1. Sejam A e B dois pontos não diametralmente opostos de uma superfície esférica S. Como mostrar que existe uma e somente uma circunferência máxima de S passando por A e B? 2. Duas circunferências máximas são ditas perpendiculares se estiverem em planos perpendiculares. Dadas duas circunferências máximas quaisquer, mostrar que sempre existe uma terceira perpendicular a ambas.
A interseção
Quanto à segunda pergunta, sejam
O centro O está simultaneamente
em
1. Dados dois “pontos” distintos A e B, existe uma única “reta” que passa por A e B. 2. Dadas duas “retas” distintas quaisquer e coplanares (na Geometria Esférica), existe uma terceira “reta” que é simultaneamente perpendicular às “retas” dadas. (Note que na Geometria Euclidiana isso não acontece, exceto se as retas dadas forem paralelas.) Observe que na Geometria Esférica não existem “retas” paralelas, isto é, “retas” que não se interceptam.
Reta eqüidistante de duas circunferências Um leitor de São Paulo pediu a solução do seguinte problema: Dados o ponto P e duas circunferências, traçar por P uma reta eqüidistante das duas circunferências e que as deixa em semiplanos opostos. RPM: Se uma reta e uma circunferência não têm pontos comuns, a distância da reta à circunferência é a diferença entre a distância do centro da circunferência à reta e o raio da circunferência (d na figura a seguir).
A construção geométrica da reta pedida vai basear-se na seguinte propriedade dos trapézios:
Na figura a seguir, A e B
são, respectivamente, os centros das circunferências de raios r e R,
Justificativa: AXBY é um trapézio e, pelo visto anteriormente,
(Agradecemos ao Professor Sylvio Niskier a solução aqui apresentada.)
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) - ésima ? 
é
, haja vista que
torna o índice da raiz negativo? 
. É costume usar o símbolo
apenas para n inteiro, maior do que 2. Mas o autor
do problema acima pode ter convencionado que o símbolo
eqüivale a
,
,
, e, nesse caso, basta observar que 
e
. 
É aconselhável, ao usar o símbolo
, deixar bem claro qual é a interpretação dada a ele para
evitar dúvidas legítimas como a levantada pelo leitor. 
e a sua derivada serem iguais. 
terá, após t segundos, uma massa igual a
. 
é uma circunferência máxima que passa por A e B.
Além disso, ela é única, pois, se
é um plano tal que
é uma outra circunferência máxima, então
contém os pontos não colineares A, B e O,
o que implica
e,assim, as circunferências máximas coincidem. 
e
as circunferências máximas dadas. 
e
; logo,
é uma reta r que passa por O.
Consideremos o plano p perpendicular a r e que passa por O.
Sendo
,
e
, segue p perpendicular a
e a
. Logo,
é circunferência máxima que é perpendicular a
e a
. 
consistindo de dois pontos euclidianos de S,
diametralmente opostos (antípodas) e interprete “reta” como uma
circunferência máxima de S. Nesse contexto, os resultados 1 e
2 acima traduzem os seguintes fatos da Geometria Esférica:
. P é o ponto dado. 
e, com centro em M, traça-se uma circunferência
de raio
. A reta procurada é uma das retas tangentes a
, passando pelo ponto dado. 
