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Em
1202 Leonardo de Pisa, também conhecido por Fibonacci,
formulou o seguinte problema: A
partir de um casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais de coelhos
existirão após 12 meses, supondo-se que: nenhum coelho morre, todo casal
de coelhos tem um primeiro casal de filhotes com dois meses de idade e, após
ter o primeiro casal de filhotes, gera um novo casal todo mês. Não
é difícil constatar que o número de casais de coelhos a cada mês é
dado pela seqüência 1,
1,
2,
3,
5,
8,
13,
21,
34,
55,
89,
144,
233, ...
(*) Indicando
por
A
seqüência (*), que é conhecida como seqüência de
Fibonacci, tem sido objeto de continuada atenção na literatura
matemática. Existe uma revista intitulada The
Fibonacci Quarterly que trata de problemas que, de uma forma ou de
outra, estão relacionados com esses números de Fibonacci. A própria RPM
já tratou desse assunto mais de uma vez
([1], [2] e [3]). Esse
resultado vale para qualquer seqüência não nula
Exemplos
de seqüências de Fibonacci são:
(1, 1,
2,
3,
5,
8,
13,
21,
34,
55,
89,
144,
233,
...),
(4,
4,
8,
12,
20,
32,
52,
84,
136,
...)
ou a seqüência constante zero. Uma progressão geométrica
Essa
equação em
Os
valores de
I.
Se
Vamos
demonstrar esse fato usando indução sobre
n.
Para n = 1
e
n = 2,
vamos mostrar que existem números reais
Supondo
o resultado verdadeiro para valores menores que
n, mostremos que é
verdadeiro para
n:
visto
que ambos,
Na
linguagem dos espaços vetoriais, os fatos acima mostram que as seqüências
de Fibonacci formam um espaço vetorial de dimensão dois tendo por base
as seqüências
II.
Seja
(f1, f2, f3 ,...,
fn ,...)
uma
seqüência de Fibonacci não nula.
Mostremos usando (*), que a
seqüência fn / fn +1
é convergente com limite igual à razão áurea
Como
Temos:
onde
III. A exemplo do resultado acima, a fórmula geral
(*)
para as seqüências de Fibonacci enseja demonstrações simples e
naturais para diversas das relações existentes entre os números de
Fibonacci. Por exemplo, vamos mostrar que os termos de uma seqüência de
Fibonacci
Resulta
que
No
caso particular da seqüência
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...)
temos
e
isso completa a demonstração. Uma
conseqüência imediata dessa relação é que os termos ímpares da seqüência
de quocientes
Referências
bibliográficas: [1]
ÁVILA, Geraldo. Retângulo áureo, divisão áurea e seqüência de Fibonacci, RPM
6, pág. 9. [2]
PITOMBEIRA, João Bosco. Um problema
de Fibonacci, RPM
17, pág. 4. [3] PITOMBEIRA, João Bosco. Euclides, Fibonacci e Lamé, RPM 24, pág. 32.
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