Dias atrás presenciei uma conversa na qual um cliente perguntava, ao gerente de um banco, quanto tempo levaria para duplicar uma quantia a ser aplicada a uma taxa de i%

Eu, muito curioso, pedi ao gerente uma explicação para o cálculo e ele me disse que “era uma regra usada em finanças conhecida como a regra dos 70”. O porquê do  70  ele não sabia, mas dava certo.

Para calcular o tempo aproximado de duplicação de um investimento, divida  70  pela taxa percentual anual de juros.

Vamos justificar o cálculo do gerente. Para isso, usaremos a função logaritmo natural de  x,x>0, denotada por  ,  que pode ser definida como sendo a função inversa da exponencial  .  Logo,

“o logaritmo natural de  x  é a potência de  e  necessária para se obter  x.”

.

Precisamos de uma forma prática para calcular o valor numérico do logaritmo, mesmo que aproximado. Usaremos a expressão apresentada, com notas históricas, na RPM 26, pág. 6, que é a seguinte:

Tal expressão, conhecida como a série de Taylor da função  ,  permite a aproximação

  para  valores de  x  positivos e próximos de  0.

Podemos também perceber essa aproximação graficamente:

Voltemos à regra dos 70.

Um capital  C,  aplicado à taxa anual de  %  transforma-se, após 1 ano, em

A regra também vale para estimar a meia-vida de uma quantidade  Q  que decai exponencialmente com taxa de decrescimento de i% ao ano. Após  t  anos, o valor da

Os primos aparecem com muita irregularidade na seqüência dos números inteiros, e por isso foram criadas muitas fórmulas que fornecem números primos.

Há certos polinômios  , com coeficientes inteiros, cujos valores numéricos são primos para valores inteiros da variável  x.  Vejamos alguns:

1) Os valores assumidos por   (trinômio de Euler)  são primos para    (observe que  ).  Entretanto, para    e  ,  os valores numéricos desse trinômio não são primos, pois, temos:

Para  ,  temos  ,  um primo, mas não se sabe se o trinômio de Euler produz um número infinito de primos para valores inteiros de  x.

2)      Outro trinômio campeão de primos é  Q(x) = P(x 40) = x² 79x + 1601.  Para  x=0,1,2,...,79 ,  Q  fornece números primos (ver RPM 09, pág. 33).

3)      O binômio de Legendre  P(x) = 2x² + 29  produz  primos  para  x=28,27,...,28.

4)      P(x) = x² 2999x + 2248541 produz primos para  x=1460,...,1539.

5)      P(x) = x² + x + 17 produz primos para  x=15,14,...,15.

6)      P(x) = 3x² + 3x + 23   produz primos para  x=21,20,...,21.

7)      P(x) = 6x² + 6x + 31 produz primos para   x=29,28,...,28.

Agora façamos a seguinte pergunta: existirá algum polinômio  P(x) , com coeficientes inteiros, cujos valores numéricos são sempre números primos para valores inteiros da variável  x?

A resposta é não,  e é conseqüência do seguinte teorema:

Teorema: Não existe polinômio algum, com coeficientes inteiros, cujos valores numéricos são sempre números primos para valores inteiros da variável  x.

Demonstração:

Suponhamos que o polinômio P(x) = a_kx^k + a_k-1x^k-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀, com os coeficientes  a_k, a_k-1,..., a₂, a₁, a₀  todos inteiros e  a_k 0,  produz sempre primos para valores inteiros da variável  x.  Então, para  x = n ,  sendo  n  um inteiro fixo, P(x)=p  é primo, e qualquer que seja o inteiro  t,  temos:

P(n + pf) = a_k(n + pf)^k + a_k-1(n + pf)^k-1 + ... + a₁(n + pf) + a₀,  ou seja, P(n+pf)=(a_kn^k+a_k-1n^k-1+ ... +a₂n²=a₁n=a₀)+pg(t)

,

sendo  g(t) um polinômio em  t  com coeficientes inteiros.

Portanto,  p  é um divisor de  P(n + pt)  e  P(n + pt) é um inteiro composto, a não ser que: P(n+pt)= p    ou  P(a+pt)=0.

Como um polinômio do grau  k  não pode assumir o mesmo valor numérico para mais de  k  valores numéricos da sua variável, segue-se que as três igualdades anteriores podem subsistir somente para  3k  valores do inteiro  t,  quando muito, de modo que, para todos os demais valores de  t,  P(n + pt)  é um inteiro composto, o que é uma contradição, visto que o polinômio    produz sempre primos para valores inteiros da variável  x.

Assim, por exemplo, com  P(x)=x²+2x+3,  para  x=2  temos  P(2)=11, um primo,  e  P(2+11t)=11(1+6t+11t²) é um inteiro composto, divisível por 11,  para todo t 0.