RPM 45 - Raiz quadrada utilizando médias

Quando se procuram valores aproximados para a raiz quadrada de um número positivo, em geral se pensa em dar esses valores na forma decimal. Aliás, é assim que eles aparecem em uma calculadora, por exemplo. Isso é equivalente a exigir que o número racional utilizado como aproximação tenha como denominador uma potência de 10. No entanto, os antigos gregos, que nem sequer tinham a notação decimal, sentiam-se satisfeitos com qualquer outro denominador. Quando Arquimedes (287-212 a.C.), em seu notável livro A medida do círculo, aproxima o comprimento da circunferência por meio dos perímetros de polígonos regulares inscritos e circunscritos, usa, sem dar nenhuma explicação, valores aproximados para

, tais como 265/153 e 1.351/780. Observamos que

. Os estudiosos têm especulado sobre o método pelo qual os gregos teriam chegado a essas aproximações (ver [6]). À primeira vista, parece que elas provêm das frações contínuas (ver [8] e [3]).

(repetindo-se indefinidamente o padrão 1, 2, 1, 2, ...), produz as seguintes aproximações para

As seis primeiras decimais (não utilizadas naquela época) de cada fração são, respectivamente:

1,000000 2,000000 1,666667 1,750000 1,727273 1,733333 1,731707 1,732143 1,732026 1,732057 1,732049 1,732051 ...

Pode-se observar que as aproximações são alternadamente por falta e por excesso (ver [8]), e que as aproximações usadas por Arquimedes estão nessa lista. Entretanto, é estranho que Arquimedes tivesse em mente essa lista, pois por que teria ele utilizado o 9^o e o 12^o termos da lista, e não dois consecutivos, como parece mais natural? Além disso, alguns historiadores objetam que a teoria das frações contínuas só teria surgido cerca de 18 séculos depois de Arquimedes, com os italianos Bombelli (1526-1573?) e, principalmente, Cataldi (1548-1626). Essa objeção, porém, não é séria, pois vestígios de uso de frações contínuas aparecem em vários autores da antigüidade, e, além disso, o próprio algoritmo de Euclides (300 a.C.) para o MDC identifica-se essencialmente com a fração contínua para um número racional (ver [9]).

contínuas. Um esquema desse tipo para

é mencionado por Thurnbull ([5]), que o chama de “escada de Eudoxo” (matemático ateniense que viveu de 408 a 355 a.C.).

É provável que, já na época de Arquimedes, circulassem listas de aproximações racionais para raízes quadradas, obtidas por diversos métodos. Um desses métodos, que nos parece particularmente atraente, e preserva seu interesse ainda hoje, é o uso de médias. Esse processo já era conhecido pelo matemático grego Herão de Alexandria (100 d.C.), e é atribuído por alguns a Arquitas de Taranto (428-365 a.C.). Mas, na primeira metade do século XX, descobriu-se que ele já era utilizado pelos mesopotâmios (onde hoje é o Iraque), há uns 3500 anos (ver [1]).

Recordemos que, dados dois números positivos a e b, suas médias aritmética A, geométrica G, e harmônica H têm as propriedades:

A demonstração dessas propriedades é simples (ver [7]), e as idéias básicas são as seguintes: Como

, segue imediatamente que

, e que a igualdade só ocorre quando

. Aplicando-se esse mesmo resultado a

e a

do cálculo direto. É conveniente observar, para uso na sala de aula, que essas propriedades têm interpretações geométricas muito sugestivas, algumas delas encontradas em [5].

Vamos usar esses fatos para calcular, por exemplo, aproximações racionais de

. Primeiro, como

, temos, pela propriedade (i):

Como, pela propriedade (ii), a média geométrica dessas duas novas frações continua sendo igual a

, temos:

(Você observa algum parentesco entre essa lista de aproximações e a anterior, obtida por frações contínuas?)

O último valor já é uma aproximação excepcional, e sua precisão pode ser observada na curiosa desigualdade:

Generalizando, o processo consiste no seguinte: dado um número

, do qual se quer calcular a raiz quadrada, fatora-se o referido número na forma

, com

. Em seguida, formam-se:

Vamos verificar agora que o processo funciona sempre. Em primeiro lugar, pelas propriedades das médias recordadas no início, tem-se, para todo n:

Isto é, os

são aproximações por falta, cada vez melhores, de

, enquanto os

são aproximações por excesso, cada vez melhores, de

Mais ainda, a seqüência crescente formada pelos

é limitada superiormente por

(e portanto converge a um número c), enquanto a seqüência decrescente formada pelos

é limitada inferiormente por

(e portanto converge a um número d), sendo

. Porém,

Conclusão: as seqüências de médias harmônicas e aritméticas obtidas no processo formam aproximações cada vez melhores de

, por falta e por excesso, respectivamente, e aproximam-se de

tanto quanto quisermos tomar termos da seqüência em número suficiente.

Como

, tanto o erro cometido ao tomar a n-ésima aproximação por excesso, isto é,

, quanto o erro cometido ao tomar a n-ésima aproximação por falta, isto é,

, são menores que

Essa desigualdade permite verificar que o erro decresce muito rapidamente, a partir do momento em que seja menor que 1, o que obrigatoriamente termina por ocorrer, já que

tende a zero.

Por exemplo, suponhamos que se queira calcular

. Pode-se tomar

, de modo que

. Isso significa que, se, em alguma etapa do processo,

for, digamos,

, então, na etapa seguinte, não excederá a

, na seguinte a

, e assim por diante, o que representa uma convergência muito rápida.

Não é interessante escolher agora a fatoração

, pois as primeiras aproximações serão muito pobres:

n
0	6	19	13	4,225
1			3,38	0,285610
2			0,264209	0,001745
3			0,001634	0,000000

O último valor, na realidade, não é 0, e sim 0,00000007, aproximadamente, mas em todo caso mostra que as aproximações seguintes (por falta e por excesso) vão coincidir até as seis casas decimais que estamos usando. O leitor poderá comprovar que são iguais a 10,677078, o que corresponde a

com seis decimais exatas.

Como

, vê-se que a convergência será tanto mais rápida quanto mais próximos estiverem os dois fatores escolhidos inicialmente. Por fim, deve-se notar que, se o objetivo é obter somente aproximações em decimais, nada impede que sejam utilizados valores iniciais não inteiros. (Aliás, a utilização de fatores não inteiros será essencial quando M for primo, e mais ainda quando M não for inteiro, já que o processo vale para qualquer número real.) Por exemplo, para

pode-se utilizar

, o que equivale a

A convergência será bastante rápida:

n
0	10	11,4	1,4
1	10,654206	10,700000	0,045794
2	10,677054	10,677103	0,000049
3	10,677078	10,677078	0,000000

Se, na relação de recorrência (1), se levar em conta que H_nA_n = M , obtém-se:

Ou seja, cada aproximação por excesso obtida durante o processo é a média aritmética entre a aproximação por excesso anterior A_n e M/A_n. De modo inteiramente análogo, o leitor pode comprovar que cada aproximação por falta H_n₊₁ é a média harmônica entre a aproximação por falta anterior H_n e M/H_n. Isso significa que o processo descrito pela fórmula (3) coincide com o conhecido “método de Newton (1642-1727)” (ver [2], [4] e RPM 21, pág.13).

Mais uma vez se constata que, ao estudar a história da Matemática, o professor pode extrair daí não somente episódios curiosos, mas também questões interessantes, que permitam a seus alunos investigar métodos diferentes dos usuais, e igualmente instrutivos.

Referências bibliográficas

[2] CARNEIRO, José Paulo Q. Resolução de equações algébricas, Editora Universidade Santa Úrsula – 1998.

[3] CARNEIRO, José Paulo Q. Um processo finito para a raiz quadrada, RPM 34, 1997.

[4] CARNEIRO, José Paulo Q. Equações algébricas de grau maior que dois: assunto para o Ensino Médio?, RPM 40, 1999.

[7] LIMA, Elon Lages. Meu professor de Matemática e outras histórias, SBM, 1993.

[8] MOREIRA, Carlos Gustavo. Frações contínuas, representações de números e aproximações, Eureka, n^o 3, 1998.

[9] OLDS, C.D. Continued fractions, The Mathematical Association of America, 1963.

José Paulo Q. Carneiro Rio de Janeiro, RJ

Referências bibliográficas

José Paulo Q. Carneiro
Rio de Janeiro, RJ