Lenimar Nunes de Andrade
UFPB – João Pessoa, PB

As curvas planas conhecidas como cônicas são estudadas desde a antigüidade e podem ser obtidas como interseção de um cone circular reto com um plano. Elas têm propriedades geométricas notáveis, algumas delas relacionadas com fenômenos físicos, com órbitas dos planetas em torno do Sol ou com trajetórias de projéteis, entre outras ([1] e [2]).

Um dos axiomas da Geometria euclidiana afirma que “dois pontos distintos determinam uma única reta”. Uma afirmação análoga para circunferências seria: “três pontos não colineares determinam uma única circunferência”. Este artigo é sobre a quantidade mínima de pontos necessária para determinar, de forma única, uma cônica e sobre sua construção geométrica.

Sabemos do estudo da Geometria Analítica plana que a equação de uma reta é da forma  ,  onde    ou  . Dividindo essa equação por  a  ou por  b,  temos que qualquer reta no plano tem equação da forma    ou da forma  .  Conhecidos dois pontos distintos da reta, basta substituir esses pontos em uma dessas duas equações para se obter um sistema linear  ,  cuja resolução fornece os valores de  A  e  B. Dessa forma, verificamos analiticamente que dois pontos distintos determinam uma única reta. Analogamente, a partir da equação geral de uma cônica (ver [3],[5]),

, onde  ou  ou ,  é possível provar que dados cinco pontos quaisquer do plano existe uma única cônica determinada por eles. Não é nosso objetivo e não faremos a demonstração desse resultado aqui.

No que segue, vamos supor que nos cinco pontos dados não existam três alinhados, mas vale ressaltar que o teorema de Pascal, enunciado a seguir, é válido para qualquer cônica definida pela equação anterior.

Blaise Pascal, matemático, físico e filósofo francês do século XVII, foi o inventor, entre muitas outras coisas, da máquina de calcular e tem seu nome associado ao triângulo aritmético formado pelos números binomiais. Seu primeiro livro, escrito aos 16 anos de idade, foi o Essai sur les coniques (Ensaio sobre as cônicas). Um dos resultados mais importantes descobertos por Pascal foi o seguinte:

Teorema de Pascal: Em um hexágono inscrito em uma cônica, as retas que contiverem os lados opostos interceptam-se em pontos colineares.

Em um hexágono definimos lados opostos como sendo os lados que estão separados por dois outros lados. Nessa definição, não importa se o hexágono é convexo ou não. Por exemplo, num hexágono  ABCDEF  os pares de lados opostos são  ,    e  .

Nas figuras da página seguinte, temos um hexágono    inscrito em uma elipse e em uma hipérbole, respectivamente. Em qualquer caso, observe que os pares de lados opostos são  ,    e    e que as retas que contêm esses lados interceptam-se nos pontos colineares  A,  B  e  C.

O teorema de Pascal pode ser verificado facilmente em alguns casos particulares simples, por exemplo, quando a equação da cônica for do tipo    ou    ou  .  O caso geral pode ser reduzido a esses por mudanças de variáveis no plano que levam retas em retas.

O teorema de Pascal é a base do funcionamento de um algoritmo para a construção de uma cônica que passa por cinco pontos dados, desde que

quaisquer três deles não sejam colineares.

Dados  os  pontos   e  ,  queremos  obter  um  outro

ponto    da cônica. Para isso, basta determinar o ponto  A  de interseção das retas    e    e considerar uma reta qualquer  r  que passe por ele (veja figuras abaixo).

Referências bibliográficas

[1] ÁVILA, G. A hipérbole e os telescópios. RPM 34, págs. 22-27, 1997.

[2] WAGNER, E. Por que as antenas são parabólicas? RPM 33, págs. 10-15, 1997.

[3] WEISSTEIN, E. Conic Section – from Eric Weisstein’s World of Mathematics. Internet em http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html, 2000.

[4] VALLADARES, R. J. C. Elipse, sorrisos e sussurros. RPM 36, págs. 24-28, 1998.

[5] BOULOS, P. e Oliveira, I. C.  Geometria Analítica – Um tratamento vetorial. Mc Graw-Hill.