Cláudio Possani
Élvia Mureb Sallum
Flávio Wagner Rodrigues
IME–USP
Soluções e Sugestões
RPM – Problemas
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05315-970 São Paulo, SP

     Problemas

190.   Escreva o número 512 como uma soma de dois números inteiros positivos, um dos quais é múltiplo de 11 e o outro é múltiplo de 13. Seria possível resolver o problema se fosse solicitado que um fosse múltiplo de 15 e o outro múltiplo de 21? Justifique sua resposta.
 

191. Determine três números inteiros positivos, distintos, cujos quadrados estejam em progressão aritmética. Justifique sua resposta.
 

192.   Sejam  A1,  A2,  A3,  A4,  A5  e  A6  os vértices de um hexágono convexo equilátero, tal que ,  onde    é a medida do ângulo interno no vértice   Ai.  Prove que  ,    e  .

(Retirado do livro Problem-solving strategies, de Arthur Engel.)

 

193.   Para que valores de  n  é possível construir uma seqüência de segmentos A1A2,  A2A3, ... ,    tais que  ,  ,  ... ,    e tais que quaisquer dois segmentos adjacentes sejam perpendiculares?

(Retirado do livro Problem-solving strategies, de Arthur Engel.)
 

 

     ... e probleminhas

       

     

1) Vovó tem 17 netos entre meninos e meninas. Dos meninos  4/9  têm olhos azuis. Quantas são as meninas?

(Enviado por Jorge Luis R. Silva.)

2)  Quando passeavam numa cidade, três estudantes de Matemática observaram que o condutor de um automóvel infringiu o código de estrada. Nenhum dos estudantes se

recordava do número de matrícula (que tinha quatro algarismos), mas cada um deles notou uma particularidade de tal número. Um deles notou que os dois primeiros algarismos eram iguais. O segundo reparou que também os dois últimos eram iguais. E, por último, o terceiro garantia que o número de matrícula era um quadrado perfeito.

É possível determinar o número de matrícula do automóvel conhecendo-se apenas esses dados? Justifique sua resposta.

(Tirado da Olimpíada regional de Matemática de João Pessoa, 2000.)
 

3)   De quantas maneiras é possível trocar um real?

(Enviado por Jorge Luis R. Silva.)

 

 

(Ver respostas na seção "Livros")

 

     Soluções dos problemas propostos na RPM 43


182.  Calcular a área comum aos dois quadrados da figura, sendo  obtido de  ABCD  por uma rotação de um ângulo  em torno do centro O do quadrado ABCD.

 

 

Solução:

Na figura ao lado,  ,  pois o triângulo  tem os ângulos da base iguais, já que o triângulo    é isósceles.

Do mesmo modo,  e como   temos

.  Também,

 

 

 

 

 

 

Assim, podemos concluir que os triângulos    BFG,   são congruentes (caso  LAAo),  assim como todos os triângulos sombreados.

(Solução adaptada de soluções de vários leitores.)

   

 

183. A figura ao lado mostra a decomposição de um retângulo em quadrados. Qual a área do quadrado marcado com  x?

Solução:

Na figura  A,  B,  C,  D  e  E  indicam as áreas dos quadrados.

Temos    e,  tomando  ,  temos:

 

,  , ,  logo,  .

Para determinar  a,  observamos que

, de onde  .

Logo, 

(Solução enviada por vários leitores.)  

 

184.   Os números reais  a,  b,  c  são tais que a + b + c = 3,  a2+b2+c2=13  e a3+b3+c3=27.   Determine  a4 + b4 + c4.
 

Solução:

Vamos observar inicialmente que  (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3.

Segue-se, então, que:  a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) + 2abc = 0  ou equivalentemente,  (a+b)(a+c)(b+c)=0.

Para que isso ocorra, pelo menos um dos fatores deve ser nulo. Supondo  a+b=0,  a primeira equação nos dá  c = 3.  Substituindo na segunda, obtemos a=   e  b= .  Segue-se que  a4 + b4 + c4 = 89.

(Adaptada de soluções enviadas por vários leitores.)

   

185. Quantos e quais são os valores do número real  a  para os quais a equação  x2+ax+6a=0  possui somente raízes inteiras?

Solução:

Ao propor esse problema 185, os responsáveis por esta seção contribuíram (involuntariamente) para a seção Pisando na bola. Como foi observado por alguns leitores, o problema 185 já havia sido proposto como parte b) do problema 141 da RPM 32. A solução foi publicada na RPM 34.

 

Relação dos leitores que enviaram soluções dos problemas da RPM 43

Alberto Hasser Raad, MG – 183, 184, 185

Luiz Antônio Domingos, SP – 183

Aline S. de Bona, RS – 183

João Linneu do Amaral Prado, SP – 184

A. C. de Almeida, RJ – 182,183, 184, 185

Joaquim Ferreira da Silva, PE – 183

Amaro J. de Oliveira Filho, PE –183, 184

Jorge F. dos Santos, RJ –183, 184, 185

Anderson A. de Araújo, RJ – 183, 184, 185

Josaphat R. Gouveia Jr, BA – 184

André L. S. Araújo, RJ – 182,183,184, 185

José Hernandes, SP –183, 184

Antônio de Andrade e Silva, PB –183, 184

José R. C. e Carneiro, SP – 183, 184

Antonio Ferreira Sobrinho, SP – 183, 184

Laercio Francisco Feitosa, PE –183, 184

Antônio Luiz Miranda, RJ – 183

Lhioko S. Tayra, SP – 183, 184

Antônio M. Santos, PR – 182,183,184, 185

Luciano Marinho Filho, PE –182, 183, 184

Aristóteles A. da Silva, RO – 183, 184

Luis Felipe de Araujo, PB – 183, 184

Carl Henning Schinke, RJ – 183, 184

Luiz A. Ponce Alonso, SP –183, 184 , 185

Carlos A. S. Victor, RJ – 182,183,184, 185

Luiz César Niehues,  SC –183, 184, 185

Carlos A. G. Silva, RN –182, 183, 184

Marcelo Ribeiro de Souza, RJ – 183, 184

Celso M. Rodrigues, MG – 183

Marcos Garcia de Souza, SP – 182, 183

Cláudio M. Silva, SP – 182, 183, 184, 185

Maria I. Caetano Rodrys, SP – 183, 184

Cylene C. de Campos Leite, SP – 183, 184

Mauro Felix de Souza, RJ – 183, 184

Enilson Vieira Chaves, MG – 183

Milton D. Maciel, SP –182, 183, 184, 185

Fernando C. Ramos, RS –182,183,184,185

Nilton Silveira, MG –182, 183, 184

Flávio Mendes Garcia, GO – 183

Pablo P. Arraes, SP – 182, 183, 184, 185

Flavio R. Leal da Cunha, GO – 183,  184

Pierre Bedouch, MG – 182, 183

Florival C. de Sousa, GO – 182, 183,185

Robério Bacelar da Silva, CE – 184

F. A. M. Paiva, CE – 182,183, 184, 185

Roberto Luis Dotto, SP – 183

Geraldo P. Júnior, SP –182, 183, 184, 185

Sebastião M. Santos, MG–182,183,184,185

Gilder da S. Mesquita, PE – 183, 184, 185

 Trajano Pires da Nóbrega Neto, SP – 184

Guita Nascimento, RJ – 183

Tsunediro Takahashi, SP –182,183,184,185

Hilda da Silva Pinhão, SP – 183, 185

Vanessa A. Botta, SP – 183

J. C. M. Velloso , RJ – 182, 183, 184, 185

Vicente W. Moura Gaeta, AM – 184 , 185

Jaime Oliveira, SE – 183, 184

Victor Chacur, SP – 182, 183, 184, 185

Janilson Aparecido Balieri, MG – 183

Wanderley Gamba, SP – 182, 183, 184

João Alexandre Junior, RN – 184

Zilton Gonçalves, RJ – 183, 184, 185

 

Nota: Na relação de acertadores publicada na RPM 44, deixamos de mencionar que Alberto Hassen Raad enviou soluções corretas para os problemas 180 e 181 e não apenas para os problemas 178 e 179, como constou. A ele nossas desculpas.