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Gustavo
Piñero
Nosso
objetivo nesta nota é mostrar, através de um exemplo simples, que os
aspectos formais da Matemática não são antagônicos aos seus aspectos
recreativos. Com esse objetivo, começaremos expondo um problema sério
de Teoria de Números e veremos como, de maneira perfeitamente natural,
ele nos conduzirá a interessantes explorações no campo lúdico-matemático.
Apresentaremos ainda dois pequenos descobrimentos recreativos que,
acreditamos, serão do interesse dos leitores. Problema
básico Achar
todos os inteiros positivos ímpares
a para os quais existe
um expoente
Solução Por
outro lado, como a
é ímpar, então os números
a
e
Resolvendo
cada um desses dois sistemas de equações, concluímos que
O
problema abordado foi resolvido, sem, entretanto, poder-se dizer que a
questão está totalmente esgotada. Para começar, observemos atentamente
a primeira das duas expressões resultantes da resolução do sistema
anterior:
O
aspecto interessante da questão é que a representação em base
2 do número
Chegamos
então à primeira descoberta: para cada valor de
Por
exemplo, para
Cada
piso da estrutura contém a mesma quantidade de zeros e de uns e é, ao
mesmo tempo, a representação binária do número que aparece à direita
dele. Os leitores, sem dúvida, não deixarão de notar a regularidade que
existe na construção da pirâmide. Por
outro lado, a segunda das duas expressões resultantes da resolução dos
sistema da primeira seção,
Vimos
que, na base 2, as representações dos números cujas formas são Interessante
são as estruturas que resultam da expressão
A
estrutura é exatamente a
mesma. Na realidade, podemos anunciar o seguinte resultado (que constitui
nosso segundo descobrimento):
A
partir de um aparentemente estéril problema de Teoria de Números
descobrimos todo um mundo de estruturas piramidais formadas por quadrados
escritos em diferentes bases. Mundo do qual vimos apenas a superfície,
pois, com um pouco de imaginação, ainda há muitos aspectos dele que
podem ser investigados. A
conclusão a que queremos chegar é: ao trabalhar com Matemática, nunca
se deve perder o espírito lúdico e o afã explorador. É verdade que os
descobrimentos fundamentais da Matemática encontram-se fora do alcance da
maioria dos mortais, porém os pequenos podem originar-se de qualquer
mente alerta e curiosa. A exploração permanente de todos os aspectos
possíveis de um problema (incluindo certamente os aspectos recreativos)
raramente nos deixará com as mãos vazias e na maioria das vezes nos
conduzirá a terrenos interessantes e instrutivos.
Existem
pelo menos dois aspectos das questões tratadas que podem ser
generalizados.
1)
Vimos que para todo
valor de
2)
O problema inicial
pedia para achar todos os inteiros ímpares
a
para os quais existe um expoente
__________
Templo alto, na Babilônia e na Assíria, com estrutura piramidal construída
em degraus sucessivamente retrocedentes, com escadas externas e um
escrínio no topo. O mais alto conhecido é a Torre de Babel. (fonte:
www.uol.com.br/michaelis)
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dão lugar a
interessantes construções gráficas. O que ocorre com outras bases? Que
aspecto têm as expressões de
