Silvio Niskier
E. E. Mauá, SP

     Introdução

Três pontos não alinhados determinam uma circunferência, de modo que todos os triângulos são inscritíveis (numa circunferência). Já para quadriláteros, isso não é verdade: alguns são inscritíveis, outros não.


quadrilátero inscritível                    quadrilátero não inscritível   

Neste artigo vamos trabalhar com quadriláteros inscritíveis e mostrar como eles podem fornecer facilmente alguns resultados interessantes.

O artigo também tem uma finalidade didática ao propor a seguinte questão: até que ponto muitas figuras e poucas palavras podem tornar a Geometria mais aprazível para nossos alunos?
 

     Quadriláteros inscritíveis  

1) Num quadrilátero inscritível, ângulos opostos são suplementares.
Para “ver” isso, basta lembrar que, numa circunferência, a medida

de um ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central correspondente. Logo,

 

     

2) Vale a recíproca dessa afirmação, isto é, se dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares, ele é inscritível.

Se o quadrilátero  ABCD  não é inscritível, suponhamos que D não pertence à circunferência determinada por  A,  B  e  C.

      

Basta olhar para o ponto  , interseção da reta  AD  com a circunferência, para ver que

  por hipótese  e

,  pois    é inscritível.  Logo, 

Portanto, um quadrilátero é inscritível se, e somente se, seus ângulos opostos forem suplementares.

3) Veja uma conseqüência desse fato na figura ao lado. Os ângulos “pretos” são iguais, pois ambos são suplementares do ângulo “pontilhado”. Há um outro par de ângulos iguais, um do triângulo pequeno e outro do quadrilátero (eles não estão assinalados na figura).

4) Usando os fatos anteriores, vamos provar que as três retas que contêm as alturas de um triângulo são concorrentes.

Para isso vamos desenhar duas alturas,    e  ,  chamar de  H  o ponto de encontro das retas  que as contêm e provar que a reta  AH  é perpendicular a    e, portanto, contém a terceira altura. O ponto  H  chama-se ortocentro do triângulo.

Acompanhe o argumento, olhando para as figuras.

 

4A)    AFHE  é inscritível

( ).

Portanto, os ângulos “pretos” inscritos, que abrangem o mesmo arco  AE,  são iguais.

Ainda na figura, os dois ângulos “pretos”, opostos pelo vértice, também são iguais.

 

4B)    BCEF  é inscritível

(imagine a circunferência que passa por  B, C  e  F.  Como o ângulo BFC  é reto,    é o diâmetro da circunferência e, sendo   reto,  E  está na circunferência). Pelo item 3), tem-se que o ângulo    do triângulo também é igual a  y.

Olhando agora para o triângulo BEC,  vemos que

  e os ângulos em  D  são retos,  isto é,  .  

 

     Triângulo órtico  

Unindo-se os pés das alturas de um triângulo, obtém-se o chamado triângulo órtico do triângulo dado.

Na figura ao lado, DEF  é o triângulo órtico do triângulo ABC.

As figuras abaixo mostram três quadriláteros inscritíveis [ver 4B)]  e os ângulos iguais assinalados com a mesma letra [ver 3)].

         

A última figura, que engloba as três primeiras, mostra que

5) O triângulo órtico determina três triângulos, AEF,  DBF  e  DEC  semelhantes ao triângulo ABC  e semelhantes entre si.

Mostra também que

6) As alturas do triângulo  ABC  são bissetrizes do triângulo órtico (basta observar, por exemplo, que  ).

   

 

     Reta de Simson  

7)  Se  P  é um ponto qualquer da circunferência circunscrita a um triângulo  ABC, e os pontos  D,  E  e  F  são os pés das perpendiculares de  P  aos lados  AB,  BC  e  CA,  então  D,  E  e  F  são colineares.

A reta dos pontos  D,  E  e  F  chama-se reta de Simson.

Novamente, os quadriláteros inscritíveis vão fornecer a demonstração.

A figura à esquerda foi propositadamente mal feita para evitar a tentação de fazer afirmações não justificadas sobre o alinhamento de  D,  E  e  F.  A figura à direita, a ser olhada após a argumentação, está correta.

             

O quadrilátero  PBDE  é inscritível  [4B)],  logo  .

O quadrilátero  PFCE  é inscritível,  pois  ,

logo  .

O quadrilátero  ADPF  é inscritível,  pois  ,  portanto

  (1)

O quadrilátero  ABPC  é inscritível ,  portanto

  (2)

As igualdades (1) e (2) mostram que    e, portanto, os pontos  D,  E  e  F  são colineares.

 

 

Silvio Niskier é professor pleno de Geometria Descritiva da Escola de Engenharia Mauá; foi professor da Escola Politécnica da USP, da Universidade Mackenzie e da FAAP.