Um licenciando em Matemática, de São Paulo, pede informações sobre números transcendentes.

RPM:  Desde a antigüidade sabia-se que existem números que não podem ser escritos como quocientes de dois inteiros, isto é, não são números racionais. é o exemplo clássico; embora irracional, é solução da equação  .  Números que são soluções de equações polinomiais do tipo

,  com    inteiros,

,  ,  chamam-se números algébricos.

Sempre se desconfiou que existiam números que não são soluções de equações como a acima. Receberam o nome de números transcendentes, pois, segundo Euler, “transcendem o poder dos métodos algébricos”. Não se conhecia nenhum número transcendente até 1844, quando Liouville construiu uma classe de números e provou, pela primeira vez, que eles eram transcendentes. São os chamados números de Liouville:

onde  são inteiros de  1  a  9.  A dificuldade está em provar que tais números não podem ser soluções de equações polinomiais.

Cerca de 30 anos mais tarde, Cantor demonstrou que os números algébricos são enumeráveis e que os números reais não o são, provando assim que números transcendentes existem e que, num certo sentido, há “mais” números transcendentes do que algébricos, embora a demonstração feita por Cantor não mostre nenhum deles.

Em 1873, Hermite  demonstrou a transcendência de  e,  e em 1882 Lindemann  provou a transcendência de  .

Um dos 23 famosos problemas propostos por Hilbert, em 1900, foi decidir se  é algébrico ou transcendente.  O problema foi resolvido por Gelfond, em 1934, ao provar que    é transcendente se    é algébrico, diferente de 0 e 1,  e    é  algébrico e não racional.  Segue-se desse resultado, por exemplo, que  log 2 é transcendente  (   e,  se  log 2  fosse algébrico, 2 seria transcendente) e, também, que   é transcendente ( ). Não se sabe ainda  se   ou  , entre outros, são algébricos ou transcendentes.  
 

    Um  leitor de São Paulo escreveu: Resolvi a equação cotgx - sen2x = 0  de dois modos e as respostas não bateram:

Por isso, na primeira resolução será necessário examinar, separadamente,  o que acontece com os múltiplos (inteiros) de  /2,  o que fará aparecer a solução aparentemente perdida.  

   Um  leitor de Maceió pergunta: Somos capazes de reconhecer diretamente que 5, 13, ou mesmo 127 são números primos. Mas como convencer um aluno do ensino médio que  2^6972593 1 é um número primo?

RPM:  Para eles, alunos, e para a maioria de nós, professores, é uma questão de fé. Como está escrito na RPM 41, pág. 36, a procura  desses primos de Mersenne é uma área de pesquisa em Matemática e requer a criação de softwares específicos. Somente especialistas em Matemática e Computação conseguem provar que tais números, quando muito grandes, são primos.

  O mesmo leitor de Maceió observou que,  por exemplo,  5 = (1 + 2i) (1 2i)e pergunta: quantos e quais são os números primos que podem ser escritos como um produto de números complexos conjugados?

RPM:  Infinitos. Observando que  ,  a sua pergunta fica: quantos e quais números primos são soma de dois quadrados? 

Que há infinitos primos que são soma de dois quadrados decorre do seguinte teorema: Qualquer que seja o número natural  n,  existe um primo  p  tal que ,  com  a  e  b  naturais e maiores do que  n.  

RPM:  Seja  a  a medida das arestas do tetraedro  ABCD.  Temos:

Logo,  MNPQ  é um losango. Para mostrar que é um quadrado, basta mostrar que os ângulos internos são retos. Ora, no tetraedro regular as arestas opostas são ortogonais (ver RPM 15, pág. 59); logo,  BD  é ortogonal a  AC.  Como MN // BD  e  MP // AC,  temos  ,  como queríamos provar.
 

O Prof. Sérgio Alves lembrou que a seção quadrada do tetraedro do problema anterior é a chave da solução do seguinte quebra-cabeça.

  Desenhe e recorte em uma cartolina quatro planificações iguais às desenhadas acima.(A figura pode ser aumentada, mantendo-se as proporções entre as medidas dos segmentos.)

  Construa quatro sólidos dobrando e colando as regiões sombreadas. Junte-os de modo a formar um tetraedro regular.