188.  Encontre todos os números naturais de dois dígitos tais que sua soma com o número formado pelos mesmos dígitos em ordem contrária resulta um quadrado perfeito.

 (Retirado de uma seleção para treinamento para a Olimpíada Soviética de Matemática.)
 

1)  Antônio e Bento, dois gêmeos, seguiam o leito de uma ferrovia e começaram a atravessar uma ponte estreita na qual havia espaço apenas para o trem. No momento em que completavam  2/5  do percurso da ponte, ouviram o trem que se aproximava por trás deles. Antônio começou a correr de encontro ao trem, saindo da ponte praticamente no instante em que o trem entrava. Bento correu no sentido oposto a Antônio, conseguindo sair da ponte praticamente no instante em que o trem saía. Quando os irmãos se reencontraram, passado o sufoco, o irmão que gostava de Matemática (o outro amava) observou:

- Corremos à velocidade de 15 km por hora e portanto já sei calcular a velocidade do trem!

Calcule a velocidade do trem. Justifique sua resposta!

2)  Determine o número fantasma de seis algarismos que está escondido na última linha.  Nas outras  linhas  há  também números de seis algarismos e ao

(Ver respostas na seção "Cartas do leitor")

Solução:

Sendo o raio da circunferência unitário, temos: . Então,  área OAB = .

Se  S = área ABCDE   e    s = área A' B' C' D' E', então

S = 5 sen36° e s = 5 sen²18° tg36°.

Logo, a área  A  procurada é dada por

A = S 6s = 5 sen36° cos36° 30 sen²18° tg 36° .  Substituindo os valores

(Adaptada da solução enviada por Geraldo Perlino, SP.)  

179.  Sejam  a,  b,  c  retas paralelas distintas duas a duas. Mostre que existem triângulos equiláteros cujos vértices  A,  B,  C  são pontos das retas  a,  b, c  respectivamente.

Solução:

Considere  a,  b,  c  retas paralelas coplanares.

A seguinte construção pode ser feita usando apenas régua e compasso.

Fixamos    e fazemos uma rotação de ,  no sentido anti-horário, da reta  b  em torno de  A,  obtendo uma reta   que corta a reta  c  no ponto  C.

ou

  

Fazemos a rotação, no sentido horário, do ponto  C  em torno de  A,  obtendo na interseção com  b  o ponto  .

Os triângulos retângulos  AHC  e    são congruentes, uma vez que

AH =   e  AB = AC.  Logo,   = ,  que implica  de modo que o  ABC  é equilátero.

(Solução enviada por F. W. Leão, RJ.)

Obs.: O leitor Alberto Hassen Raad, MG, observou e provou, usando Geometria Analítica, que o enunciado também vale se as retas  a, b e c  são paralelas não coplanares.

180.    Use um argumento combinatório para determinar o valor de

sendo  n  um inteiro maior ou igual a  1.

Solução:

(Adaptada da solução enviada por Carlos A. Gomes da Silva, RN.)

Nota: Vários leitores determinaram o valor da expressão utilizando indução, desenvolvimento de binômios, etc. Essas soluções não foram consideradas porque a questão pedia explicitamente a utilização de um argumento combinatório.  

181.   Mostre que, se  n  é um número inteiro, positivo, ímpar e não primo, então  n  pode ser expresso como uma soma de três ou mais números inteiros, positivos e consecutivos. Essa representação é única?

Solução:

Como  n  é ímpar e não é primo,  n  pode ser expresso como um produto  n_{1 .} n₂ ,  onde  n₁ 3_, n₂ 3  e  n₁  e  n₂  são ambos ímpares. Vamos supor, sem perda de generalidade, que  n₁   n₂ . Como  n₁   é ímpar, nós podemos considerar a seqüência de  n₁ números consecutivos que tem  n2   como termo central. O número de termos dessa seqüência é maior ou igual a  3  e a soma deles é igual a  n_{1 .} n₂ .  Da hipótese  n₁   n₂   segue-se que todos os termos da seqüência são positivos. Por outro lado, é fácil mostrar que a representação não é  única.  Por  exemplo,  15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5  .  O leitor interessado poderá tentar encontrar condições que  n  deve satisfazer para que a representação seja única.

NOTA:  Recebemos, com tristeza, a notícia do falecimento (agosto/00) de nosso leitor Francisco Wilson Leão que durante 13 anos, sem interrupção, constou da lista de acertadores desta seção como F. W. Leão, RJ. Enviou-nos, pouco antes de falecer, a carta com os quatro problemas da RPM 42 resolvidos corretamente.

Obs. Na relação de acertadores publicada na RPM 42 foi omitido o recebimento da solução correta do problema 171 enviada por André Souza de Araújo. A ele nossas desculpas.