Arnaldo Umbelino Junior
Montes Claros, MG

São conhecidos bons critérios para saber, sem efetuar a divisão, se um número inteiro é divisível por  2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 e 11. Um critério para a divisão por  7  é explicado através do exemplo abaixo:

Seja    e consideremos os números  307, 219, 357, 68  e  2,  obtidos pela separação dos algarismos de  N,  em grupos de três algarismos da direita para a esquerda.

Sejam  , , ,   e    os restos da divisão desses números por sete, respectivamente. Observa-se que esses restos são facilmente determinados sem efetuar as divisões, pela subtração de múltiplos de  70  ou  7,  do seguinte modo:
 

Seja agora  N' = a₁ a₂ + a₃ a₄ + a₅ = (1)^ka_k.

A regra é:  N  é divisível por  7  se e somente se  N’  é divisível por  7.  No nosso caso,  ,  que não é divisível por  7; logo,  N   também não é divisível por  7.  (Usando o critério, o leitor poderá verificar que o número    é divisível por  7.)

Nota da RPM:

Vamos demonstrar a validade da regra para um natural qualquer.

Para  isso,  usaremos,  para  os  naturais  a   e   b,  o  conceito  de  congruência: dizemos que “a  é congruente a  b  módulo  7”, que denotamos por  ,  se e somente se    é divisível por  7.  Logo,

    é divisível por 7.

O leitor poderá verificar as afirmativas a seguir (ver RPM 10, pág. 40, RPM 7, pág. 25, RPM 22, pág. 7):

Se  a  é um múltiplo de  7, então  a 0(mod 7).

Se  a b(mod 7),  então b a(mod 7).

Se  a b(mod 7)   e  b b'(mod 7),  então  a b'(mod 7).

Se  a b(mod 7)   e  c d(mod 7), então

a + c b + d(mod 7),  a c b d(mod 7)  e  ac bd(mod 7).

Se  a b(mod 7),  então  a^k b^k(mod 7)  para k 1 inteiro.

Vamos agora demonstrar a regra, usando esses resultados.

Seja  N  um número natural e    os números obtidos pela separação dos algarismos de  N,  por pontos, em grupos de três algarismos da direita para a esquerda, como no exemplo. Sejam   os restos da divisão desses números por sete, respectivamente.

Então, . No exemplo inicial, temos

.

Como  ,  pois    é divisível por  7,   temos 

,  .

Assim, dado um natural  a,  se  b  é o resto da divisão de  a  por  7,  temos  ,  então:

.   Logo,

 ou .

Portanto,  .

Para o número N considerado no exemplo, temos

1   e, como  1  não é divisível por  7,  N  também não é.

Ver outros critérios para divisibilidade por 7 nas RPM 12, pág. 24; RPM 6, pág. 21; RPM 10, pág. 33.