Augusto C. Morgado
Rio de Janeiro, RJ

     Introdução

Escolhido um sistema de coordenadas e dados os pontos não alinhados,

,    ,    ,

é bastante conhecido que o baricentro  G  (ponto de encontro das medianas) do triângulo  ABC  pode ser determinado por

Na RPM 03, pág. 33, já se mostrou que o incentro  I  (ponto de encontro das a, b e c as medidas dos lados opostos aos vértices  A,  B  e  C, respectivamente. A notação utilizada tem o mesmo significado estabelecido anteriormente, isto é,

O leitor, provavelmente, já notou que há algo comum a essas fórmulas: em ambas, o centro é uma média ponderada dos vértices - com pesos iguais a 1, no caso do baricentro, e iguais aos lados, no caso do incentro.

Vamos determinar expressões análogas para o ortocentro (ponto de encontro das alturas) e para o circuncentro (ponto de encontro das      mediatrizes dos lados) do triângulo  ABC.

 

     Ortocentro

Vamos considerar um triângulo não retângulo, pois não há nenhuma dificuldade na determinação do ortocentro de um triângulo retângulo - é o vértice do ângulo reto.

  No triângulo  ABC  representamos os pés das alturas relativas aos vértices   A,  B  e  C  por  A1,  B1  e  C1  respectivamente.


Vamos determinar o valor de . Essas fórmulas acima valem qualquer que seja a origem do sistema, O, adotada. Podemos simplificar os cálculos adotando a origem no ponto  C,  isto é,  C=(x3,y3)=(0,0).

Substituindo os valores anteriormente encontrados para  B1  e  C1,  obtemos:

.

Como         não são paralelos, devemos ter

.

Logo, o ortocentro de um triângulo não retângulo é a média ponderada dos vértices tendo como pesos as tangentes dos ângulos do triângulo.

O leitor pode verificar que a expressão anterior é válida também quando um dos ângulos do triângulo for obtuso; nesse caso, a respectiva tangente entra com seu sinal negativo.  

 

     Circuncentro e reta de Euler  

Considerando ainda um triângulo não retângulo  ABC,  se tomarmos os pontos  P,  Q  e  R,  médios dos lados  BC,  AC  e  AB,  respectivamente, verifica-se que:

os ângulos do triângulo  PQR  são iguais aos ângulos do triângulo  ABC  e também PR//AC,  QR//BC  e  QP//AB .

Logo, as mediatrizes dos lados do triângulo  ABC  contêm as alturas do triângulo  PQR.

Portanto, o circuncentro  N  do triângulo  ABC  é o ortocentro do triângulo  PQR.

Logo,

,

sendo  G  o baricentro e  H  o ortocentro do triângulo  ABC.

  Esse resultado pode ser escrito como    ou, ainda,  .

Portanto,  .

É fácil ver que, se o triângulo for retângulo, o resultado    continua válido (basta observar que  N  é o ponto médio da hipotenusa e que  H  é o vértice do ângulo reto; portanto,  HN  é a mediana relativa à hipotenusa).

Acabamos de provar um teorema atribuído a Euler. Em todo triângulo, o ortocentro, o baricentro e o circuncentro são colineares. Além disso, o baricentro é sempre interno ao segmento que une o ortocentro ao circuncentro, sendo, dos pontos que o dividem em três partes iguais, o situado mais próximo do circuncentro. A reta que contém esses três centros do triângulo (é claro que, se o triângulo for equilátero, esses centros coincidem e a reta não fica determinada) é conhecida como reta de Euler.

Finalmente, propomos ao leitor que use a fórmula    para mostrar que, se o triângulo não é retângulo, então

.

  VOCÊ SABIA?  

       

Que  2000 é o Ano Internacional da Matemática?

Segundo um dos membros do IMU – Internacional Mathematical Union, um dos objetivos dessa campanha seria divulgar mundialmente que a Matemática é a pedra fundamental para o desenvolvimento econômico e cultural de uma nação.