Geraldo Ávila UFG, Goiânia        Introdução Já faz 40 anos que a noção de conjunto foi introduzida no ensino fundamental e médio; e trouxe mais malefícios que vantagens. Nos países desenvolvidos, o ensino de conjuntos começou a diminuir já faz uns 30, anos, e em nosso país também já se observa um declínio pronunciado desse ensino, a ponto de haver bons livros de autores competentes que reduziram muito o ensino de conjuntos. É esse o caso dos livros dos professores Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis. Eles só introduzem conjuntos na oitava série, assim mesmo de maneira prudentemente reduzida. Neste artigo vamos apresentar tópicos pouco sabidos da teoria dos conjuntos, mais para informar os mestres além daquilo que ensinam. Já escrevemos um artigo sobre conjuntos e ensino na RPM 4; e, para evitar repetições, sugerimos que o leitor reveja aquele artigo.          Cantor e os conjuntos infinitos Bernhard Bolzano (1781–1848) foi quem primeiro falou livremente de conjuntos infinitos em Matemática. Ele escreveu um livro sobre os paradoxos do infinito, publicado postumamente em 1859, no qual aborda questões de natureza filosófica e matemática acerca dos conjuntos infinitos. Richard Dedekind (1831–1916) foi mais longe que Bolzano, usando a noção de conjunto na construção dos números reais, como já explicamos na RPM 4. Mas foi Georg Cantor (1845–1918) quem mais avançou no estudo dos conjuntos. Logo no início de um de seus trabalhos sobre os números transfinitos, ele define conjunto com as seguintes palavras:  Por conjunto entenderemos qualquer coleção numa totalidade  M  de objetos distintos, produtos de nossa intuição ou pensamento. A rigor, isso não é bem uma definição, pois exige que já saibamos o que seja “coleção”, vocábulo esse que é sempre tomado como sinônimo de conjunto. Na verdade, Cantor está apenas explicando, em linguagem imprecisa que seja, sua percepção do conceito de conjunto, que, diga-se de passagem, era a única que poderia ocorrer a qualquer matemático de seu tempo. Veremos que esse conceito, utilizado livremente, pode levar a sérias contradições.        Conjuntos de diferentes potências   Na RPM 4 introduzimos a noção de cardinalidade (ou potência) de um conjunto e demonstramos que o conjunto dos números naturais e o dos racionais têm a mesma potência, um fato bastante surpreendente, pelo menos para quem se inicia nesse estudo. Seria até de se esperar que todos os conjuntos infinitos tivessem essa mesma potência, caso em que esse conceito nem teria razão de ser. Lembremos que conjuntos com a mesma potência do conjunto dos números naturais são chamados conjuntos enumeráveis. Foi, portanto, uma enorme surpresa a demonstração da não-enumerabilidade dos números reais feita por Cantor em 1874. Só então, o conceito de potência adquiriu importância e permitiu que Cantor introduzisse e estudasse os números transfinitos, que nada mais são do que as potências dos conjuntos infinitos. Em particular, Cantor mostrou como ordenar os conjuntos segundo suas potências. Assim, denotando as potências com os mesmos símbolos com que estamos denotando os conjuntos, podemos escrever  N=P=I=Q<R, onde N, P, I, Q  e  R  denotam os conjuntos dos números naturais, dos pares, dos ímpares, dos racionais e dos reais, respectivamente.

Uma infinidade de números transfinitos   Vamos mostrar agora como Cantor logrou construir toda uma infinidade de números transfinitos, ou seja, uma infinidade de conjuntos infinitos, todos com diferentes potências. Primeiro vamos ilustrar a construção no caso de um conjunto finito bem simples, com apenas três elementos, digamos, o conjunto  M = {a,b,c}. Vamos formar o conjunto de todos os subconjuntos de  M.  Denotando, como de costume, o conjunto vazio por  ,  esses subconjuntos são os oito conjuntos seguintes: ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  . O conjunto de todos esses subconjuntos, chamado conjunto das partes de  M, costuma ser denotado por P(M). Assim,  . Já observamos que a noção de potência permite ordenar os conjuntos. Assim, no caso do conjunto M que estamos considerando, temos, em termos de suas potências,  M<P(M).  Esse fato, aqui ilustrado no caso de um conjunto de três elementos, pode ser facilmente demonstrado para qualquer conjunto finito; e pode ser demonstrado, sem muita dificuldade, para qualquer conjunto infinito, como fazemos no Apêndice, resultado esse que também é devido a Cantor.          O paradoxo de Cantor   Vamos descrever um dos primeiros paradoxos1 da teoria dos conjuntos, surgido com o próprio Cantor. Aceitando a definição de conjunto dada por Cantor, podemos conceber o conjunto U de todos os conjuntos. Esse conjunto U  seria, por assim dizer, o conjunto universal; portanto, teria potência máxima, já que reuniria todos os conjuntos passíveis de consideração. Em particular, ele teria de ser um elemento de si mesmo, o que já é, em si, um pouco estranho. Pior que isso é que, ao considerarmos o conjunto P(U) , somos levados, pelo próprio teorema de Cantor, a concluir que P(U)>U. Ora, isso contradiz a hipótese inicial de que existe um conjunto universal U, ou o conjunto de todos os conjuntos.          Frege e o paradoxo de Russell   Dentre os muitos outros paradoxos que foram sendo descobertos, merece especial atenção o chamado paradoxo de Russell, que está contido numa carta que Bertrand Russell (1872–1970) escreveu a Gottlob Frege (1848–1925) em 1902. Frege  recebeu a carta de Russell no momento em que estava para publicar o segundo volume de uma obra em que fundamentava toda a aritmética na teoria dos conjuntos. Ele reagiu com as palavras: “nada mais indesejável para um cientista do que ver ruir os fundamentos do edifício, justamente no momento em que ele está sendo concluído. Foi nessa incômoda situação que me encontrei ao receber uma carta do Sr. Bertrand Russell no momento em que meu trabalho já estava indo para o prelo”. Para explicar o paradoxo de Russell, começamos observando que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto, como já vimos atrás, no caso do conjunto das partes de um dado conjunto. Outro exemplo: uma reta é um conjunto de pontos; e podemos formar o conjunto das retas de um dado plano, portanto, um conjunto de conjuntos.

Pode um conjunto ser elemento de si mesmo? Consideremos o conjunto de todas as idéias abstratas. Não é esse conjunto também uma idéia abstrata? Então ele é um elemento de si mesmo. Outro exemplo: o conjunto de todos os conjuntos que possuem mais de dois elementos é um elemento de si mesmo, pois certamente possui mais de dois elementos. Não se perturbe o leitor se achar muito estranha essa idéia de um conjunto pertencer a si mesmo. Falamos dela somente porque desejamos, isso sim, considerar conjuntos que não pertencem a si mesmos, como o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos divisores de 360, o conjunto dos vértices de um poliedro, etc. Vamos considerar o conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos, e que denotaremos por  M.  Assim, de maneira simbólica e explícita,  M={x/x x}. Pergunta: ? Não, pois  M  seria um certo  x  tal que  ,  donde, pela definição de  M, x M,  isto é,  M M . Será então que M M?  Também não, pois  M  seria um certo  x  tal que  x x ,  donde, pela definição de  M, x M,  isto é,  M M . Em resumo,   M M  M M . Estamos diante de um paradoxo, que surgiu da consideração do conjunto  M  de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos.     Por que surgem paradoxos?   Nada há de errado com o raciocínio que acaba nos levando tanto ao paradoxo de Cantor como ao de Russell. Se não há nada de errado, como então fomos chegar a esses paradoxos? Os paradoxos surgem porque o universo do discurso é muito amplo; e acaba abarcando essas contradições. O próprio conceito de conjunto, segundo Cantor, foi originariamente concebido de maneira muito livre, e acabou levando Cantor, inclusive, a um paradoxo insuperável. Este exemplo, mostra a que nos leva o uso muito livre da linguagem: um rei mandou dizer a um condenado que ele morreria na fogueira se suas (do condenado) últimas palavras encerrassem uma verdade; e morreria na forca se falasse uma falsidade. O condenado disse: vou morrer na forca. Em conseqüência, o rei não pôde executá-lo nem na fogueira (se não o condenado teria dito uma falsidade), nem na forca (se não o condenado teria falado a verdade). E por que esse impasse? Simplesmente porque a decisão final depende de algo fluido, aquilo que o condenado ainda vai falar. Isso não pode ser permitido; o universo do discurso tem de ser devidamente restrito para não abrigar possíveis contradições ou impasses. Por causa dos paradoxos, alguma coisa tinha de ser feita. Foi então que vários matemáticos cuidaram de formular um sistema de axiomas, a partir dos quais fosse possível estabelecer os resultados da teoria, libertando-a, ao mesmo tempo, dos paradoxos que vinham surgindo e de outros mais que pudessem aparecer.

Zermelo e o axioma da especificação   Ernst Zermelo (1871–1953) foi um dos matemáticos que mais sucesso tiveram nesse empreendimento de axiomatizar devidamente a teoria dos conjuntos. Nascido em Berlim, Zermelo estudou Matemática, Física e Filosofia nas universidades de Berlim, Halle e Freiburg. Foi professor em Göttingen e Zurique. Ainda cedo em sua vida profissional, Zermelo teve de interromper sua carreira por problemas de saúde e, mais tarde, por problemas com o regime nazista de Hitler. Embora seus principais trabalhos situem-se na área de lógica e fundamentos da Matemática, Zermelo também possui contribuições em Mecânica e Análise Aplicada. Em suas considerações sobre os paradoxos, notadamente os de Cantor e Russell, Zermelo percebeu que duas coisas não poderiam coexistir: a consideração livre de conjuntos, como o conjunto universal, e a caracterização de um conjunto por uma propriedade de seus elementos. Ora, essa última condição era muito natural e não deveria ser descartada. Zermelo optou pela impossibilidade de considerar conjuntos sem nenhuma restrição, como no caso do conjunto de todos os conjuntos, ou o conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos. Ele teve a intuição de que seria possível considerar conjuntos infinitos, porém, sempre a partir de algum conjunto preexistente. Assim, de posse do conjunto dos números naturais  N,  podemos considerar o conjunto dos pares de números naturais  ,  com  , a partir dos quais construímos o conjunto dos números racionais; a partir desse conjunto podemos construir o conjunto dos números reais, depois o dos números complexos. Conjuntos mais e mais amplos, em termos de cardinalidade, podem ser formados a partir de qualquer conjunto  M,  em particular a seqüência crescente   etc. Foi seguindo essa linha de raciocínio que Zermelo formulou o seguinte axioma, que veio a ser chamado axioma da especificação: Dados um conjunto A e uma propriedade P(x), existe um conjunto M cujos elementos são os elementos de A que satisfazem a propriedadeP(x). Simbolicamente, M={x A/P(x)}. É interessante observar que estamos, a toda hora, usando esse axioma na formação de novos conjuntos a partir de um conjunto dado, freqüentemente sem perceber a interveniência do axioma. Considere, por exemplo, as afirmações: o conjunto das raízes reais do polinômio  ; o conjunto dos triângulos de base  AB  e altura  h;  o conjunto dos coeficientes binomiais de ordem 7.  Em todos esses casos estamos formando conjuntos com a ajuda do axioma da especificação. Vários outros axiomas são necessários para construir axiomaticamente a teoria dos conjuntos. E o conceito de conjunto aparece então como conceito primitivo, sem definição, em termos de noções precedentes, sendo delimitado apenas pelos axiomas.            O paradoxo de Richard   Mas será mesmo que o axioma da especificação terá exorcizado todo e qualquer paradoxo da teoria dos conjuntos? Faremos um teste, tentando construir o conjunto de todos os números naturais que podem ser descritos com menos de 20 palavras na língua portuguesa. Exemplos de tais números: o maior divisor primo do número 4056; o número de pessoas registradas no cartório de Planaltina de Goiás; o número de gols válidos marcados em partidas jogadas no estádio do Maracanã desde 1950. Todos esses números estão bem-definidos com menos de 20 palavras da língua portuguesa.

Seja  M  o conjunto que estamos especificando, isto é,  M  é o conjunto dos números naturais que podem ser descritos com menos de 20 palavras. Trata-se de um conjunto finito, pois finito é o número de arranjos de todas as palavras da língua portuguesa em grupos de menos de 20 palavras; e de todos esses grupos interessa considerar apenas uma fração, justamente aqueles grupos que resultam em definições significativas de números naturais. Portanto, o complementar    de  M  é um subconjunto infinito do conjunto dos números naturais; e, como tal, possui um menor elemento. Seja  m  esse menor elemento  de  .  O que é  m?  Resposta: m  é o menor número natural que não pode ser descrito com menos de 20 palavras da língua portuguesa. Ora, acabamos de escrever  m  com apenas 19 palavras! Como se vê, estamos diante de um novo paradoxo (o paradoxo de Richard), resultante da construção de um conjunto com o axioma da especificação. Como podemos evitar mais esse paradoxo da teoria?           As imprecisões da linguagem   O paradoxo anterior nos põe diante de um problema sério, que é a linguagem que usamos para nos comunicar. Ora, a linguagem, por mais correta que seja, contém muitas imprecisões e ambigüidades. Vejamos alguns exemplos: A testemunha forneceu informações aos membros da CPI que poderão ajudar na descoberta do esquema de corrupção. O que ou quem vai ajudar, as informações ou os membros da CPI? O importante na Matemática são as idéias, não a notação e o formalismo, como pensam muitos professores. O que pensam os professores, que o importante são as idéias ou a notação e o formalismo? A diretoria pediu que o professor comunicasse aos alunos sua alegria pelo progresso que eles vinham fazendo nos estudos. Alegria da diretoria ou do professor? A oposição acha que o governo está dividido e quer impedir a votação da matéria. Quem quer impedir, a oposição ou o governo? Todas essas frases são perfeitamente normais na linguagem corrente; nada de errado com elas, embora não resistam às demandas do rigor lógico. E não é por isso que vão deixar de ser usadas. Pelo contrário, às vezes até certas omissões no uso da linguagem são necessárias para valorizar um trecho escrito ou falado. Isso é freqüente em obras literárias, prosa ou poesia. E, mesmo quando se conta uma anedota, é comum usar de meias palavras ou omitir alguma coisa, para deixar à esperteza do ouvinte uma parte na interpretação do resultado final. Kurt Gödel (1906–1978), um dos maiores lógicos do século XX, disse certa vez:

“Quanto mais reflito sobre a linguagem, tanto mais me admiro que as pessoas consigam se entender umas com as outras.”           A linguagem formal   A conclusão é simples: a linguagem corrente não atende às exigências do rigor lógico. Alguma coisa tinha de ser feita para evitar paradoxos como o último que mencionamos atrás. Isso aconteceu em 1922, quando dois matemáticos, Fraenkel e Skolem, propuseram que a linguagem corrente fosse completamente banida da Matemática e substituída por uma linguagem formal, construída com poucos símbolos e as regras de sintaxe necessários para se conduzir o raciocínio dedutivo. Os símbolos incluem os conhecidos símbolos matemáticos, como os sinais de adição, subtração, igualdade, etc., além de outros, como (significando implica),  (significando existe), (significando para todo), (significando pertence), os sinais de parênteses, símbolos para as variáveis, etc. Por exemplo, lidando com o conjunto dos números naturais N, quando escrevemos , estamos expressando, em linguagem formal, o seguinte teorema de Euler: todo número natural é a soma de quatro quadrados. A mesma proposição pode ainda ser escrita assim: . A propriedade que utilizamos acima para definir um conjunto, qual seja, conjunto de todos os números naturais que podem ser descritos com menos de 20 palavras na língua portuguesa, não é passível de ser expressa em linguagem formal; portanto, está excluída de considerações matemáticas. E desde a proposta de Fraenkel e Skolem, em 1922, ninguém conseguiu ainda formular uma propriedade em linguagem formal que conduzisse a algum paradoxo.          Conclusão   Dissemos acima que a linguagem corrente ficaria banida do universo matemático, sendo permitida apenas a linguagem formal. Isso apenas em tese. A importância da linguagem formal é a de ser um instrumento para estudar a consistência das teorias matemáticas, não para ser usada no dia-a-dia do matemático. Nem os lógicos que estudam os fundamentos da Matemática insistem no desatino de fazer tudo em linguagem formal; nem isso é possível! No mais das vezes é difícil, ou mesmo uma tarefa hercúlea, traduzir o enunciado de um teorema em linguagem formal. Não se perturbe, pois, o professor, com seu hábito de usar linguagem corrente em Matemática; não há razão alguma para trocá-la por linguagem formal. Mas também não perturbe seus alunos com exemplos de conjuntos que podem causar dificuldades também a você, professor. Não queira, pois, falar no conjunto dos fios da barba do imperador D. Pedro II, pois não há como saber, ao certo, onde termina a barba e onde começam os fios do pescoço... ou os cabelos da cabeça! E esse conjunto seria aquele de quando o imperador tinha 23 anos de idade? Ou 47? No dia do aniversário? Ou três meses depois? Afinal, por que perturbar seus alunos com essas coisas que não têm nada a ver com a Matemática?... Também não queira falar no conjunto dos dígitos que aparecem infinitas vezes na expansão decimal de   ;  você não tem nem como saber se 3 está ou não nesse conjunto, como pode então saber se isso é mesmo um conjunto?