Um grupo de leitores perguntou se a  RPM  já publicou algum artigo sobre Matemática e Música e pediu uma bibliografia que abrangesse conjuntamente os dois temas. Perguntou também como utilizar a música no desenvolvimento didático em relação às aulas de Matemática.

RPM

Até hoje a RPM não abordou o tema Matemática e Música. Na opinião do professor José Paulo Carneiro, editor da RPM e também pianista, o tema é mais apropriado para palestras e oficinas, nas quais o uso concomitante de algum instrumento musical ilustra com vantagem o tópico a ser desenvolvido.

Diz o prof. Carneiro que oficinas podem ser realizadas, por exemplo, com alunos de ~ 11 anos, explorando a relação entre harmonia, comprimento de cordas e frações, como já faziam os pitagóricos; ou com alunos de ~14 anos estudando a relação entre o espaçamento dos trastes de uma guitarra e uma progressão geométrica; ou, ainda, com alunos de séries mais avançadas, estabelecendo relações entre tons, comprimento de cordas e curvas trigonométricas, levando em conta o caráter vibratório do som.

Quanto à bibliografia: O tema Matemática e Música é abordado em alguns dos livros de História da Matemática freqüentemente citados na RPM (Boyer, por exemplo). Também é encontrado em livros de divulgação, como:

·      Jeans, J. (1956)  Mathematics of Music, in The World of Mathematics; ed. J.R.Newman;   Simon and Schuster. 

·      Kline, M. M. (1987) Mathematics in Western Culture, Penguin Books.

·      Na Internet, usando um programa de busca, a RPM encontrou 56.175 verbetes digitando +Mathematics +Music.

·      Na RPM 18, pág. 61, há uma pequena resenha do livro Gama Simples (Estrutura da Escala Musical), G.E. Shilov; Coleção Iniciação na Matemática, Editora Mir.

·      O prof. Oscar João Abdounur, do IME/USP, que ministra cursos para professores sobre Matemática e Música, contou para a RPM que a Editora Escrituras lançou recentemente um livro de sua autoria intitulado Matemática e Música (o pensamento analógico na constituição dos significados).

 Um colega de Campinas escreve: Gostaria de saber qual o método usado pelos computadores para resolver sistemas lineares. É certo afirmar que é usado o método de eliminação de Gauss para qualquer ordem? Ou será para ordens maiores que 3? O ganho em cálculo é evidente nesses casos? Existe outro método computacional utilizado?

RPM Consultamos dois professores da área de Computação: Saulo Rabello Maciel de Barros e Lincoln C. Zamboni. Como as respostas foram muito parecidas, optamos pela publicação de apenas uma delas. Segue a resposta redigida pelo professor Saulo.

O método de eliminação de Gauss consiste em um esquema para o escalonamento sistematizado de um sistema linear, de maneira a transformá-lo em um sistema equivalente mais simples de resolver. Nesse processo, o número de operações aritméticas necessárias para a obtenção da solução é aproximadamente proporcional ao cubo do número de incógnitas. Já no caso do método de Cramer, usualmente visto no ensino médio, o número total de operações é proporcional ao fatorial do número de incógnitas, caso os determinantes sejam desenvolvidos pela regra de Laplace. Isso faz com que esse método seja muito menos eficiente que o método de eliminação de Gauss para uso computacional e, portanto, nunca é utilizado em computadores (comparemos: para 10 incógnitas o cubo é igual a 1000 e o fatorial  igual a 3628800, para 20 o cubo é igual a 8000 e o fatorial igual a  2,4^.10¹⁸) .

Em problemas práticos é necessário resolver sistemas lineares com centenas, milhares e muitas vezes milhões de incógnitas. Como o trabalho computacional relacionado ao método de eliminação de Gauss cresce cubicamente com o número de incógnitas, esse método deixa de ser eficiente quando os sistemas são muito grandes. Esses enormes sistemas que se originam de muitas aplicações matemáticas são, no entanto, tipicamente sistemas esparsos, ou seja, sistemas com matrizes compostas quase que exclusivamente por zeros, com apenas alguns elementos não nulos por linha da matriz. Há diversos métodos numéricos que tiram vantagem dessa esparsidade do sistema, levando  a  métodos  com  trabalho computacional proporcional ao quadrado do número de incógnitas, ou mesmo proporcional ao número de incógnitas vezes seu logaritmo. Alguns desses métodos são iterativos, ou seja, geram uma seqüência de aproximações para a solução do sistema, tal que essas soluções aproximadas ficam cada vez mais próximas da solução exata do sistema, até o ponto que podem ser consideradas (para fins práticos) como a solução do sistema. Em algumas aplicações há mesmo métodos computacionalmente ótimos, com trabalho computacional crescendo apenas linearmente com o número de incógnitas.

Observamos, no entanto, que, em geral, os métodos mais eficientes para resolução computacional de sistemas lineares possuem uma aplicabilidade limitada, requerendo que as matrizes possuam certas propriedades especiais (simetria é um exemplo) para que funcionem. Já o método de eliminação de Gauss funciona sempre que a matriz do sistema linear possua determinante não nulo, tendo portanto uma aplicabilidade muito geral. Para finalizar, apontamos mais um aspecto que torna a solução de problemas matemáticos em computadores um pouco mais desafiante que a teoria indica. Nos computadores a representação de números reais é necessariamente finita, ou seja, conseguimos representar um número real com um número máximo de dígitos significativos corretos, tendo que arredondar seu valor para o número mais próximo que é representável na máquina. Como conseqüência, as operações envolvendo números reais também têm seus valores arredondados nas contas efetuadas em computador. Dependendo das características das matrizes dos sistemas lineares e de seus tamanhos,  pode haver uma propagação desses erros de arredondamento durante o método de eliminação de Gauss, levando a resultados totalmente incorretos na solução dos sistemas. Bem, mas esse é um problema a ser resolvido por matemáticos que se dedicam a uma das muitas áreas da Matemática, a área conhecida por Cálculo Numérico (ou Análise Numérica). Como um primeiro texto nessa área, recomendamos o livro Noções de cálculo numérico, Humes, Melo, Yoshida e Martins. McGraw-Hill, 1984.  

    Alguns leitores nos pediram para determinar o valor da soma

.

RPM  Como a série é convergente e de termos positivos, podemos fazer:

=
 

    Um leitor de Porto Alegre pediu auxílio na resolução da questão abaixo:

São dadas duas retas reversas  r  e  s,  ortogonais, e sua perpendicular comum  t,  que corta  r  em  I  e  s  em  K. Considere um segmento  AB  de comprimento constante, que se move apoiando suas extremidades  A  e  B, respectivamente, sobre  r  e  s.  Unindo-se  A  a  K  e  I  a  B,  forma-se um tetraedro variável  ABIK.

a)  Mostre que a soma dos quadrados das arestas desse tetraedro é constante.

b)  Calcule o raio da esfera circunscrita ao tetraedro, em função de  AB.

a)  O  é retângulo em  I.  Logo,  .

O   é retângulo em K.  Logo,  .

Somando as duas igualdades acima, obtemos:

. A soma dos quadrados das arestas é: , que é constante.