184. Os números reais  a,  b,  c  são tais que      e  .  
Determine  .

185. Quantos e quais são os valores do número real  a  para os quais a equação  possui somente raízes inteiras?

(Tirado do livro Problemas selecionados de Matemática, de Antônio Luiz Santos e Raul F. W. Agostino.)

1.  Qual é a altura do gigante, sabendo-se que a sua cabeça mede 30 cm de comprimento, incluindo naturalmente o pescoço. As pernas são duas vezes mais compridas que a cabeça e seu meio tronco, e o sujeito todo é um metro mais comprido que a cabeça e as pernas juntas.
(Enviado por Jorge Luis R. Silva, CE.)
 

2.  Como o médico me recomendou caminhadas, todo dia de manhã dou uma volta (com velocidade constante) na quadra em que resido. Minha mulher aproveita para correr (com velocidade constante) em volta do quarteirão. Saímos juntos e chegamos juntos. Ela percorre a quadra no mesmo sentido que eu e me ultrapassa duas vezes durante o percurso. Se ela corresse no sentido contrário ao meu, quantas vezes ela cruzaria comigo?
(Extraído da Olimpíada Brasileira de Matemática, 1997.)
 

3.  Um industrial produz uma máquina que endereça 500 envelopes em 8 minutos. Ele deseja construir mais uma máquina de tal forma que ambas, operando juntas, endereçarão 500 envelopes em 2 minutos. Determine o tempo que a segunda máquina sozinha deve gastar para endereçar 500 envelopes.
(Extraído do Competições Matemáticas, Editora Interciência.)

(Ver respostas na seção "Coluna do Botelho")

174.   Dado um triângulo  ABC,  seja    o pé da bissetriz pelo vértice C. Determinar o lugar geométrico dos pontos  X  do plano  ABC  tais que a bissetriz por  X,  do triângulo  ABX,  passa por  P.

Solução:

Pelo teorema da bissetriz interna, um ponto  X  do plano  ABC  é tal que a bissetriz do  

Logo, pelo problema 170 da RPM 42, o lugar geométrico pedido é a reta mediatriz de  AB  se  AP=BP  ou uma circunferência se  APBP.

(Solução enviada por vários leitores.)  

175.   Mostrar que, reunindo os pontos médios dos lados de um quadrilátero  ABCD  (convexo ou não), obtém-se um paralelogramo cuja área é a metade da área do quadrilátero. Vale o mesmo para o “quadrilátero”  ABCD  da figura da direita?

Solução:

Em qualquer dos casos,  MNPQ  é um paralelogramo (podendo ser degenerado), já que 

Na figura da esquerda temos:

.

Na figura do meio temos:

.

Na figura da direita temos:

.

Assim, se definirmos, neste caso, a área  MNPQ  como sendo a diferença das áreas
 

176.   Na loteria de Truchilândia, cada bilhete tem um número de três algarismos que usa somente os algarismos 1, 2, 3  (é permitido repetir os dígitos). Um bilhete é ganhador se coincide em pelo menos duas posições com o número sorteado.

a) Qual é a probabilidade de que um apostador, que comprou um único bilhete, ganhe o prêmio?

b)  Você decide comprar 3 bilhetes. Que bilhetes você escolheria de modo a maximizar sua probabilidade de ganhar o prêmio?

c) Qual é o número mínimo de bilhetes que você precisa comprar para ter certeza que       você ganhará o prêmio?

Solução:

Vamos observar inicialmente que, como os números podem ser repetidos, um sorteio dessa loteria admite    resultados possíveis. 

a)    Um único jogo (por exemplo 121) garante a vitória do apostador em sete resultados. De fato, as duas primeiras posições (12) garantem a vitória se os resultados forem  121, 122, 123. A primeira e terceira posições (1–1) permitem que o apostador ganhe com os resultados  111, 121, 131.  Finalmente, a segunda e terceira posições  (21)  darão a vitória com os resultados  121,  221,  321.  Como o próprio jogo é repetido duas vezes, são sete os resultados distintos favoráveis ao jogador. Conclui-se, portanto, que a probabilidade de vitória de um apostador que comprou um único bilhete é igual a  7/27.

b)    Com três bilhetes, o máximo que se pode esperar é garantir a vitória em 21 jogos, o que nos daria uma probabilidade de vitória igual a  7/9.  Isso pode ser conseguido com jogos que não repitam nenhum número na mesma posição. Assim, por exemplo, os conjuntos de três jogos  111,  222,  333  e 123,  231,  312  dão ao jogador essa probabilidade máxima de vitória.

c)    Como no total existem  27  resultados possíveis e cada jogo garante a vitória do apostador em apenas sete, conclui-se que três jogos não são suficientes para que tenhamos certeza da vitória. Mostraremos a seguir que quatro jogos também não são suficientes. Como são três algarismos e quatro jogos, existem dois algarismos que vão aparecer uma única vez na primeira posição. Vamos supor que o número 1 apareça em um único jogo na primeira posição. É fácil ver que esse jogo garante a vitória do apostador em cinco jogos distintos que começam com o número 1. Existem nove jogos que começam com o número 1 e a vitória nos outros quatro terá que ser garantida pelos algarismos que aparecem na segunda e terceira posições dos demais jogos. Como só existem três outros jogos, sobra um jogo que começa com 1, que se for sorteado não dará a vitória ao apostador.
Existem vários conjuntos de cinco jogos que resolvem o problema, como o leitor pode verificar nos exemplos:

123,  211,  232,  312,  331;    121,  132,  213,  322,  331.

(Adaptada da solução publicada na revista Eureka, número 6.)

177. Considere o conjunto dos números inteiros de quatro algarismos x=abcd,

Solução:

de generalidade, que    e tomemos inicialmente  .  Então,  b  será necessariamente maior que  1,  pois, caso  b  fosse igual a  1,  a soma das quatro frações seria maior que  2.

Para  ,  obtemos    e, para  ,  d  também será igual a 4. Obtemos assim

Vamos analisar agora o caso    e  .  Nesse caso, a única solução é dada por  ,  que corresponde a  .  Não é difícil verificar que não existe nenhuma outra solução se  .

,  que corresponde a . Não existem soluções para  ,  pois, nesse caso, a soma das quatro frações seria no máximo igual a  4/3.

Observamos que todas as permutações das quatro soluções obtidas são também soluções do problema, o que nos dá um total de  41  soluções.

(Adaptação de soluções enviadas por vários leitores.)