Lenimar Nunes de Andrade João Pessoa, PB        Introdução Equações polinomiais surgem na resolução de diversos tipos de problemas, sejam eles problemas algébricos, geométricos ou em outras ciências. Muitas técnicas de resolução desse tipo de equação exigem que se dê inicialmente uma estimativa (um “chute”) para uma raiz, mesmo que seja uma estimativa grosseira (veja, por exemplo, [1]). O objetivo deste artigo é mostrar fórmulas simples e eficientes que permitam calcular um intervalo da reta real ou uma região do plano complexo que contenham todas as raízes da equação, permitindo, assim, uma escolha mais adequada para a estimativa inicial.        1. Uma cota superior para as raízes Seja    um polinômio de coeficientes complexos com    e  ,  sendo o índice  r  igual à diferença entre os expoentes das duas maiores potências de  x  do polinômio. Se  z  for uma raiz (real ou complexa) de  ,  vamos mostrar que  .        Demonstrando a fórmula  Em linhas gerais, a demonstração consiste em observar que, se o módulo de um número  x  for maior do que um certo valor, então  x  não pode ser raiz do polinômio. Logo, toda raiz do polinômio deverá ter módulo menor do que ou igual a esse valor. Inicialmente, observe que    pode ser escrito na forma  Usando as desigualdades    e  , obtemos . Portanto,  .  Assim, o módulo de qualquer raiz de    não pode ultrapassar    e a fórmula fica demonstrada. Nesse caso, dizemos que    é uma cota superior para as raízes de  .        2. Uma cota inferior para as raízes   Suponhamos    e    diferentes de  0,  sendo    o menor expoente não nulo das potências de  x  em  .  Usando a fórmula anterior, podemos determinar um valor para o qual as raízes não poderão ser inferiores a esse valor. Para isso, basta lembrar que, se definirmos um polinômio construído invertendo-se a ordem dos coeficientes de  ,  então as raízes de    são da forma  ,  onde  z  é uma raiz de  .  Usando a fórmula anterior, obtemos    tal que  ,  e  daí,  .  Nesse caso,    é dito uma cota inferior para as raízes de  .  Desse modo, concluímos que toda raiz  z  de    satisfaz          Exemplos   A seguir, alguns exemplos usando as fórmulas das seções anteriores.   Exemplo 1: Consideremos a equação  .  Neste caso,    e, se  z  for uma raiz de  ,  então  Podemos determinar facilmente as raízes dessa equação biquadrada, que são  1, , 3  e  .  Observe que os módulos dessas raízes não ultrapassam  4,162.     Exemplo 2: Na equação    temos    e  .  Portanto, se  z  for uma raiz qualquer da equação, então . Como a menor potência de  x  é  ,  temos    e daí   Exemplo 3:  Consideremos uma equação polinomial na qual todos os coeficientes têm módulos iguais a 1 (não importando qual seja o grau da equação, nem se seus coeficientes são reais ou complexos). Então, usando as fórmulas mostradas anteriormente, obtemos que todas as suas raízes têm módulos no intervalo [1/2,2]. Em particular, qualquer raiz  z  da equação         Observação:   A título de curiosidade, informamos que as raízes da equação do exemplo 2 são aproximadamente iguais a:   e as da equação do exemplo 3 são aproximadamente:   Referências bibliográficas: [1]  Carneiro, J. P.  Equações algébricas de grau maior que dois: assunto para o ensino médio? Revista do Professor de Matemática 40, págs. 31-40, 1999. [2]   D. Faddieev, D.. Sominski, I.  Problemas de Álgebra Superior. Moscou: Editora Mir, 1980. [3]   Farias, S. Estudo sucinto da resolução numérica das equações. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1952.