Mario Dalcín
Montevidéu, Uruguai
 

O resultado  

 

Se  ABC  é um triângulo qualquer, construindo os triângulos eqüiláteros ABC', BCA' e CAB', conforme a figura, os centros desses três triângulos são vértices de um triângulo eqüilátero.

é conhecido como teorema de Napoleão e uma demonstração apareceu na RPM 14 em artigo do prof. Alfredo Rioji Matsufuji. Vamos apresentar duas outras demonstrações desse teorema.
 

1. Começamos provando que as circunferências circunscritas aos triângulos ABC', BCA' e CAB'  passam por um mesmo ponto.

Sejam A1, B1 e C1 os centros dos triângulos eqüiláteros BCA', CAB'e ABC',  respectivamente, como mostra a figura a seguir. Vamos usar a notação  (ABC)  para designar a circunferência que contém os pontos  A,  B  e  C.  Se  ,  como  ,  temos  ,  pois são ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência.

Do mesmo modo, como B'C=60°,  temos também  BC = 120°.

Logo, AC=120°e, como A'C=60°,  o quadrilátero  AOCB' é inscritível e, portanto,  O  pertence à circunferência  (ABC' ).

A reta B1C1é mediatriz do segmento  AO  e, portanto  A1C1 = C11O.

A reta B1A1é mediatriz do segmento  CO  e,  portanto  O1A1=A11C .

Como  A1C = 120°,  então  .  Da mesma forma, mostramos que  B11C = 60°  e concluímos que o triângulo  A1B1C1  é eqüilátero.

2. Começamos mostrando que os segmentos  AA' ,  BB'   e  CC'  são iguais.

Na figura (à esquerda) a seguir, os triângulos  ACA' e  B'CB  são congruentes, pois  CA = CB' ,  CA´= CB   e  AA' = B'B + 60° .

Logo,  AA' = BB'  e,  analogamente, podemos mostrar que AA' = CC' .

Na figura (à direita) a seguir, os triângulos  ACA'  e  B1CA1  são semelhantes, 

Procedendo da mesma forma com os triângulos  BAB'   e  C1AB1 e com os triângulos  CBC'   e  A1BC1,  concluímos que 

Notas da RPM:

1)  O autor enviou três outras demonstrações usando geometria analítica, números complexos e rotações.

2)  Sabe-se que Napoleão Bonaparte gostava muito de Matemática e tinha especial interesse em geometria. Entretanto, é pouco provável que tenha sido ele mesmo o autor deste problema. O que se sabe com certeza é que Napoleão manteve relações muito próximas com grandes matemáticos de sua época como Monge, Lagrange e Laplace, e chegou a nomear este último como seu ministro de engenharia militar.

3)  O teorema de Napoleão tem uma generalização interessante: se triângulos semelhantes  PBC,  CQA  e  BAR, são construídos externamente sobre os lados de um triângulo  ABC,  então seus circuncentros são vértices de um triângulo semelhante aos três triângulos.

4)   Podemos citar como curiosidade a frase palíndroma atribuída a Napoleão:

ABLE WAS I ERE I SAW ELBA,

atribuição também questionável, pois seus conhecimentos de inglês não eram grandes.