Antonio Carlos Tamarrozi
UFMS, Três Lagoas, MS

Em geral costuma chocar a afirmação de que existem mais números irracionais do que racionais, em razão da popularidade destes últimos no conjunto dos números reais. Há, porém, pelo menos um certo conformismo ao saber que é possível obter uma quantidade infinita de números irracionais, dados pelas raízes  , não exatas, de um número natural  a.

A verificação usual dessa afirmativa é feita por redução ao absurdo, ao admitir    racional, utilizando decomposições de inteiros em fatores primos (RPM 5, pág. 60). Essa abordagem, no entanto, quase nunca é apresentada aos alunos do ensino médio.

Contudo, podemos fazer a verificação utilizando polinômios, a partir do conhecido teorema das raízes racionais:

Se o número racional    (r e s inteiros primos entre si) é raiz do polinômio  ,  com coeficientes inteiros, então  r  é divisor de   e  s  é divisor de  .

Aplicando esse resultado ao polinômio    (a  tal que    não é exata), temos   e  ;  logo, se um número racional    é raiz, então  ,  o que mostra que    é um número inteiro. Como, por hipótese, nenhum inteiro  d  satisfaz  ,  concluímos que o polinômio     não admite raízes racionais. Como    é raiz,   não pode ser um número racional, sendo, portanto, irracional.

Polinômios e o teorema anterior são úteis também na verificação da irracionalidade ou racionalidade de alguns números reais específicos. Vejamos dois exemplos:

1.    O número    é irracional.

Verificação: fazendo    ou, ainda,  ,  obtém-se a igualdade  ,  a qual, após mais um quadramento, mostra ser   a  raiz do polinômio  .  Pelo teorema, as únicas raízes racionais possíveis desse polinômio são   ,  e como, por verificação direta, esses números não são raízes,  a  não pode ser racional.

2.    Surpreendentemente ,o número    é racional.

De fato, elevando-se  ao cubo ambos os membros da igualdade, obtém-se

isto é,  a  é raiz do polinômio  .

É fácil verificar que     é raiz desse polinômio e que o quociente da divisão de    por    é  ,  que não admite raízes reais. Portanto,     é a única  raiz real de  .  Logo,

Existe um fato interessante envolvendo polinômios e alguns números irracionais da forma  ,  que pode ser assim enunciado:

Se o número real    (onde  a, b Q,  ,  e  c IN  não é quadrado perfeito) é raiz de um polinômio    cujos coeficientes são racionais, então,    também é raiz de  .

Os números     e    são ditos números conjugados, devido, talvez, à semelhança do resultado anterior com o caso de raízes complexas conjugadas.

A verificação do resultado acima é análoga à demonstração do caso complexo: basta mostrar que    é múltiplo do polinômio .

De fato, temos que    também tem coeficientes racionais, pois  .  Logo,  o mesmo ocorre com o quociente    e o resto    na divisão de    por  .  Se  ,  podemos então escrever  ,  com  m, n Q.