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Claudia
A. C. de Araujo
David Hilbert
(1862–1943) foi um renomado professor da universidade de Göttingen,
Alemanha, e um dos maiores matemáticos da transição do século dezenove
para o século vinte. Suas contribuições são contadas nas mais diversas
áreas de pesquisa, como lógica matemática, equações diferenciais,
teoria dos números e física matemática. Os chamados espaços de
Hilbert, por exemplo, encontraram aplicação na teoria quântica. No Congresso de
Paris de 1900, Hilbert propôs 23 problemas que ele acreditava que
estariam ou que deveriam estar entre os que ocupariam a atenção dos
matemáticos no novo século. Embora a Matemática tenha se desenvolvido
em muitos caminhos não previstos em 1900, grande parte desses 23
problemas de fato se relacionava com conceitos e teorias que vieram a ser
trabalhados por notáveis matemáticos do século vinte. Muitos dos
problemas propostos por Hilbert ainda não foram resolvidos. No
campo da Geometria, Hilbert realizou estudos sobre axiomatização, que
culminaram na publicação da obra Fundamentos
da Geometria, em 1899, que exerceu forte influência sobre a Matemática
do século vinte. Entre os diversos postulados e teoremas dos Fundamentos
da Geometria,
de Hilbert, encontramos um interessante método para multiplicar
segmentos, o qual, como o próprio Hilbert salienta, satisfaz todas as
propriedades válidas para a multiplicação de números reais. Neste
artigo, apresentamos esse método e mostramos como o mesmo pode ser útil
para a interpretação geométrica de certas operações algébricas.
Hilbert
utiliza as seguintes palavras ao definir seu método de multiplicação de
segmentos:
A
validade do método de Hilbert e sua equivalência com a multiplicação
de números reais é facilmente comprovada por meio do teorema de Tales.
Podemos também definir um critério para a determinação do quociente de
um segmento c
por um segmento b,
bastando efetuarmos uma construção inversa à da multiplicação.
Ou seja, escolhido o segmento 1,
colocamos sobre um dos lados de um ângulo reto a partir do vértice
O
os segmentos 1
e b,
e sobre o outro lado o segmento
c,
como feito antes.
Se
o método de Hilbert satisfaz as propriedades dos números reais, podemos
utilizá-lo para visualizar operações com quaisquer números reais,
positivos ou não. Basta acrescentarmos à idéia de Hilbert um sistema de
coordenadas. Assim, é possível verificar geometricamente que:
2)
O produto de um número positivos
a
por um número negativo b
é um número negativo
4)
Se a
e b
são dois números reais tais que
Como
já foi dito, a validade dos métodos de multiplicação e divisão de
segmentos propostos por Hilbert se sustenta na teoria de semelhança de
triângulos. Sendo assim, para se fazer uma interpretação geométrica
das operações de multiplicação e divisão de dois números reais, não
é necessário que o ângulo entre os eixos coordenados seja um ângulo
reto. É interessante que o professor promova discussões a respeito de
questões como essa com seus alunos, deixando que eles explorem ao máximo
as propriedades sugeridas pelo método. Como desafio,
deixamos para o professor o seguinte exercício: verifique geometricamente
a propriedade de distributividade da multiplicação com relação à adição,
válida para os números reais. Referências
bibliográficas:
[1]
Boyer, C. História da Matemática.
Tradução de Elza Gomide. São Paulo: Editora Edgar Blucher, 1974. [2]
Hilbert, D. Fundamentos de la
Geometria. Tradução da 7a edição alemã de
Francisco Cebrian. Madrid: Instituto Jorge Juan, 1953.
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