Um leitor de Marília, SP, nos manda o problema: Seja  ABC  um triângulo retângulo em  A,  CX  a bissetriz do ângulo  ,  sendo  X  um ponto do lado  AB.  Se  CX=4 cm  e  BC=24 cm,  quanto mede  AC?

    O  mesmo leitor de Marília, SP, nos manda o problema: Determine o natural  n  tal que 4^{16 .} 2²⁵ = . 10ⁿ   com  1 < 10 .

RPM: A igualdade dada também pode ser escrita

    Um leitor de Porto Alegre, RS, nos pede para mostrar que o determinante de Vandermond, com  a, b, c  e  d  inteiros,

RPM: Sendo  D  o valor do determinante acima, sabemos que

Separando os números  a,  b,  c,  e  d  pela sua paridade, temos  5  casos a considerar:

os  quatro  números  a,  b,  c,  e  d  são pares,

três deles são pares e um é ímpar,

dois são pares e dois são ímpares,

um é par e três são ímpares,

os quatro são ímpares.

Como a diferença, tanto de dois pares quanto de dois ímpares, é par, segue que, em cada um dos casos acima,  D  é múltiplo de  4.

Por outro lado, qualquer número inteiro é de um dos seguintes três tipos:

.

Logo, cada um dos quatro números  a,  b,  c,  e  d  é de um desses tipos. Sendo quatro, temos que necessariamente dois deles serão do mesmo tipo. Como a diferença de dois números do mesmo tipo é sempre um múltiplo de  3,  concluímos que  D  é múltiplo de  3.

Portanto,  D  é múltiplo de  12.

  Um leitor de Campinas, SP, nos pede para resolver o seguinte problema: Três pontos são selecionados aleatoriamente numa circunferência de raio unitário. Encontre a probabilidade de esses pontos pertencerem a uma mesma semicircunferência.

RPM: Consideremos a circunferência de raio unitário orientada no sentido anti-horário e os três pontos  P₁, P₂ e P₃ escolhidos segundo a orientação estabelecida. Sejam  E₁,  E₂,  E₃  os eventos:

E₁ - os pontos  P₂  e P₃   estão no arco de medida    que começa em   P₁   percorrido no sentido anti-horário.

E₂ - os pontos   P₁  e P₃   estão no arco de medida    que começa em  P₂   percorrido no sentido anti-horário.

E₃ - os pontos   P₁  e P₂   estão no arco de medida    que começa em  P₃   percorrido no sentido anti-horário.

Escolhida a posição de   P₁ ,  a probabilidade de escolher  P₂   no arco de medida    que começa em   P₁   é igual a  ,  o mesmo acontecendo com a escolha de  P₃ .  Logo, a probabilidade do evento  E₁  é igual a  .

Analogamente, a probabilidade de cada um dos eventos  E₂  e  E₃  é igual a  .

Sendo  E₁,  E₂  e  E₃  eventos disjuntos (exceto no caso, que ocorre com probabilidade zero, de dois dos pontos serem extremidades de um diâmetro) e considerando que o evento pedido é a reunião deles, temos que a probabilidade de os três pontos estarem na mesma semicircunferência é igual a  .

Este problema permite uma generalização para  n  pontos, considerando-se os eventos  E_i   i = 1, 2, …, n,

E_i: os pontos  P_j , j i estão no arco de medida  180° que começa em  P_i .

Nota: O leitor e colaborador da RPM Cláudio Arconcher, de Jundiaí, SP, observou que o problema da pág. 56 da seção  O Leitor pergunta  da RPM 41 pode ser resolvido algebricamente através da fatoração: