179.   Sejam   a, b, c   retas paralelas distintas  duas  a  duas.  Mostre  que   existem   triângulos equiláteros cujos vértices  A,  B,  C  são pontos das retas  a,  b, c  respectivamente.

(Enviado por João Linneu do Amaral Prado, SP.)

180.    Use um argumento combinatório para determinar o valor de

sendo  n  um inteiro maior ou igual a  1.

181.   Mostre que, se  n  é um número inteiro, positivo, ímpar e não primo, então  n  pode ser expresso como uma soma de três ou mais números inteiros, positivos e consecutivos. Essa representação é única?

1)  Considere a seqüência de conjuntos: {1}, {2,3}, {4,5,6},{7,8,9,10},^.... Escreva o conjunto cujo último elemento é 1 830.

(Enviado por Amadeu Carneiro de Almeida, RJ.)

2)  Esta manhã, após minhas aulas, eu desci a escada, pois o elevador estava quebrado. Eu já havia descido  7  degraus quando vi o prof. Zizoloziz começando a subir a escada. Continuei no meu passo usual, cumprimentei o professor quando ele passou e, para minha surpresa, faltando  4  degraus para eu acabar de descer, o professor tinha chegado ao topo da escada. “Enquanto eu desço 1 degrau, ele sobe 2”, eu pensei.

 Quantos degraus tem a escada?

(Extraído do Harde to solve - Brainteasers, de Jaime e Lea Poniachik.)

3)   Um número de  9  algarismos, divisível por  9,  é tal que: cada um dos dígitos de  1  a  9  aparece uma vez; removendo-se o último algarismo à direita, o número de oito algarismos obtido é divisível por  8; removendo-se novamente o último algarismo à direita, o número formado pelos sete algarismos restantes é divisível por  7;  a propriedade continua até se chegar a um dígito. Qual é o número?

(Extraído do Hard to solve - Brainteasers, de Jaime e Lea Poniachik.)
 

(Ver respostas na seção "Operações com segmentos segundo Hilbert")

b),{C, D} = {P₁, P₂}. (A existência do ponto  D  é garantida por termos  PA PB.)

Logo,  P  pertence à circunferência  C,  já que as bissetrizes interna e externa são perpendiculares.

então concluiremos que o lugar geométrico dos pontos  P  é a circunferência  C.

Tracemos por  B  a reta  r  paralela a  AP.  Temos:

(Adaptada das soluções enviadas por Antonio Ferreira Sobrinho e outros leitores.)

2^a Solução: O problema é clássico em Geometria Analítica, com a solução:

Se  n = m,  obtemos a mediatriz; se  n m,  obtemos a circunferência.

171.  Se dois triângulos têm dois ângulos respectivamente iguais e dois ângulos respectivamente suplementares, mostre que os lados opostos aos ângulos iguais são proporcionais aos lados opostos aos ângulos suplementares.

Solução:

Os triângulos do enunciado podem ser considerados justapostos como  ABD  e  AFG  da figura.

(Solução enviada por João Linneu do Amaral Prado, SP.)
 

172.  Dez times,  T₁, T₂, ^...,T₁₀,  participam de um campeonato no qual cada time joga com todos os outros uma única vez. Os  45  jogos serão realizados em  9  rodadas, cada uma com  5  jogos. Construa uma tabela para esse campeonato, ressaltando, se for o caso, aspectos geométricos de sua solução.

Solução:

Inicialmente vamos deixar  T₁₀   de fora e construir uma tabela para os 36 jogos que envolvem os times  T₁, T₂, ^...,T₉.  É claro que cada rodada terá quatro jogos e um dos times irá necessariamente ficar fora. Se o nosso processo de construção fizer com que cada um dos nove times fique fora uma e uma só vez, a tabela será completada colocando o quinto jogo de cada rodada entre o time que ficou fora e  T₁₀ . Na proposta que faremos a seguir, vamos convencionar que  T_j = T_k  se  j  for congruente a  k  módulo  9.

Para a  i-ésima rodada ,  os jogos serão:

Em palavras,  T_j    enfrenta  T_k   na i-ésima rodada se e só se  j + k   for congruente a  2i+1 módulo  9. Esquematizando:

A sétima rodada, por exemplo, será constituída pelos jogos:

Com essa construção fica fácil mostrar que os times se enfrentam uma e uma só vez e que nenhum time é escalado para mais de um jogo numa mesma rodada. Finalmente, cada um dos nove times fica fora uma e uma só vez, permitindo que a tabela seja completada.

173.  Os números inteiros  1, 2, 3, ^{. . .}, 1000   são escritos em ordem em volta de um círculo. A partir do número 1, marque todo décimo quarto número, isto é, marque 1,15,29,43,^..., parando no momento em que for atingido um número já marcado. Determine quantos números não marcados restam.

Solução:

Na primeira etapa serão marcados os números  1, 15, 29, ..., isto é, todos os números menores do que  1000  que divididos por  14  deixam resto  1.  O último número desse conjunto é  995,  o que nos permite concluir que na segunda etapa serão marcados todos os números que divididos por  14  deixam resto  9.  Um raciocínio análogo nos permite determinar o que ocorre nas etapas seguintes.

É fácil ver que a próxima etapa começaria com o número 1, repetindo assim a primeira, o que nos permite concluir que o processo termina após sete etapas. Para determinar a quantidade de números não marcados, a maneira direta seria somar os números de termos de cada uma das progressões aritméticas acima e subtrair o total de 1000. O mais simples é observar que qualquer número ímpar dividido por 14 deixa resto ímpar e, portanto, estará incluído em uma das progressões. Nenhum número par dividido por 14 deixa resto ímpar e, portanto, existem exatamente 500 números não marcados.

Nota: O leitor Wanderley Gamba, SP,  nos enviou uma solução correta do problema 167, e o leitor  Manuel João de Jesus Almeida, RJ,  nos enviou uma solução correta do problema 165. Por falha nossa, seus nomes não saíram na lista dos acertadores da RPM 41. A eles nossas sinceras desculpas.  

A partir deste número a RPM e o Instituto de Matemática e Estatística da USP, IME - USP disponibilizarão a seção Problemas  na “Web”, no endereço abaixo indicado. Nesse endereço o “internauta” encontrará também outra série de problemas, incluindo animações gráficas (implementadas em Java).

No mesmo endereço ainda serão disponibilizados outros materiais relacionados com Matemática Interativa, como por exemplo, uma linha do tempo de História da Matemática.

O endereço da página iMática é

 8http://www.matematica.br8

Esperamos sua visita.