Sigridi de Almeida Borges
São Paulo, SP.

Este é o relato de uma experiência vivida em sala de aula mostrando que, embora raros, ainda existem alunos interessados em novas descobertas matemáticas. Bruno Sperb Rocha é um deles. Hoje está na 7^a série e sempre foi um aluno brilhante. Nunca o vi estudando, mas sempre procurava resolver os problemas propostos à classe de forma diferente da que eu havia ensinado. Parecia-me que agia assim de propósito e foi então que passei a incentivá-lo, como, por exemplo, na situação descrita a seguir.

Em 1997, após estudarmos, na 5^a série, algumas regras de divisibilidade para os números naturais, Bruno afirmou ter “descoberto” a regra de divisibilidade por  11  para números de três algarismos. Exibindo-me alguns exemplos, ele me disse que qualquer número natural de três algarismos, tal que a soma dos algarismos das unidades com o das centenas é igual ao algarismo das dezenas. é divisível por 11. É o caso de  253,  pois  2 + 3 =5,  de  297,  572,  891, etc. Mostrei ao Bruno que os exemplos estavam corretos mas ...

1. Será que todos os números naturais de três algarismos que obedecem a essa regra são divisíveis por  11?

2.  Será que todos os números naturais de três algarismos que são divisíveis por  11  obedecem à regra?

Relacionamos todos os números naturais de três algarismos que são divisíveis por  11  como no quadrado da página seguinte. Observando aqueles que aparecem abaixo da diagonal do quadrado (e na diagonal), notamos que todos obedecem à regra observada por Bruno. Mas isso não acontece para os que estão acima da diagonal.

Então a pergunta  2  tem resposta não.

Para responder à pergunta 1 foi necessário elaborar um pouco mais e escrever um número de três algarismos abc=100a+10b+c  com b=a+c. Logo, abc=100a+10(a+c)+c=110a+11c=11(10+c), sendo portanto divisível por 11.  Com isso, a resposta à pergunta 1 é sim.

  Logo, a b + c = 0  ou ab+c=11.

E aí, todo número que satisfaz a última igualdade é divisível por  11?  Como fica a regra para os de quatro algarismos?

Roberto Stenio A. C. de Albuquerque

Nas três últimas décadas, com o surgimento dos cursos de mestrado e doutorado em Educação Matemática, discute-se muito como ensinar Matemática. Meditando sobre a questão, apresentamos uma sugestão de como entreter e divertir pode ser uma poderosa ferramenta didática nas mãos de quem gosta de ensinar Matemática.

     A menina que calculava...

Ylana decidiu testar a sua habilidade em efetuar operações de multiplicar e convidou Rhawi para uma pequena disputa: Ele e depois ela deveriam escolher uma conta de multiplicar com dois números inteiros. O vencedor seria aquele que efetuasse primeiro a diferença entre os resultados das duas contas.

Rhawi achou legal e topou a parada, escolhendo o produto: 9446 x 3112.

Ylana então escolheu: 0553 x 6887.

O desafio consistia então em efetuar:   9446 x 31120553 x 6887.

Depois de armadas as operações foi dado o grito de largada e logo em seguida Ylana anunciou o resultado: 25587441.  Rhawi ficou espantado, pois o confronto durou menos de 30 segundos!

Como Ylana conseguiu o resultado tão depressa?

1^o) Dado 9446, Ylana escolheu 0553=99999446; dado 3112, Ylana escolheu  6887=99993112.

2^o) Ylana transformou as multiplicações em adições:

3^o) Ylana desconsiderou o primeiro dígito de  12558 ,  ficando com  2558   e “emendou” com o  7440  acrescido de uma unidade, obtendo o resultado  25587441.

O importante é discutir com a classe o que foi feito: por que dá certo? Vejamos:

Se denotamos o produto escolhido por Rhawi por AxB,  então  Ylana escolhe  (9999A) x (9999B).  Supondo o resultado da maior conta como sendo a de Rhawi (caso contrário, o procedimento é análogo), a diferença fica:

= - .

Desconsiderando o primeiro dígito de  A+B, Ylana está fazendo  A+B=10000.

Anexando os algarismos de A+B10000 ao resultado de  (9999A)+(9999B) =19998(A+B) acrescido de uma unidade, Ylana obtém  99980001+9999x(A+B).

O que fazer se Rhawi escolher um fator igual a  9999?  Você grita - Zerooo!

Por quê?