Rubens Vilhena Fonseca
Belém, PA

Neste artigo, apresentaremos alguns números com características interessantes, já conhecidos de muitos. Como sempre, nossa intenção é atiçar a curiosidade dos colegas. Se conseguíssemos criar um intercâmbio a partir dessas curiosidades, só teríamos a ganhar em nossa prática educacional.

Comecemos definindo  como a soma dos divisores próprios do número  n,  ou seja, os divisores positivos de  n  excetuando-se o próprio  n.  Por exemplo,  .  Se aplicarmos repetidamente  d  aos resultados, formaremos uma seqüência, como, por exemplo:

Quando chegamos a 0 (zero), devemos parar, já que qualquer inteiro positivo divide zero. Podemos observar algumas possibilidades para esse tipo de seqüência:

    Ela pode terminar em zero, como no exemplo acima.

    Podem-se obter ciclos de comprimentos variados, como por exemplo:

ciclo de comprimento 1:

d(6) 6,  ou seja, a soma dos divisores próprios é igual ao próprio número.

ciclo de comprimento 2: 

d(220) 284

d(284) 220,  ou seja, temos dois números, cada um deles sendo a soma dos divisores próprios do outro.

ciclo de comprimento 4:

d(1264460)

1547860

d(1547860)

1727636

d(1727636)

1305184

d(1305184)

1264460,   ou seja, o ciclo de  1264460  tem comprimento 4.

    Podem-se, ao que parece, obter seqüências que crescem infinitamente...
 

Um número é perfeito se o seu ciclo é de comprimento 1, ou seja, é aquele cuja soma dos seus divisores próprios é igual a si mesmo. Já sabemos que 6 é perfeito; outro exemplo é o 28:

.

Euclides, no livro IX do Elementos, demonstrou que qualquer número da forma   é perfeito se    for primo. Por exemplo, para    temos:

.

É interessante lembrar que os números primos da forma    são chamados primos de Mersenne. Como todo número perfeito par é do tipo    (recíproca do resultado demonstrado por Euclides, que foi demonstrada pela primeira vez por Leonard Euler), podemos então dizer que existem pelo menos tantos números perfeitos pares quantos forem os primos de Mersenne.

NR: Acredita-se que existem infinitos primos de Mersenne, mas, até agora, só foram encontrados 38 deles. O 38^o  é  ,  descoberto em junho/99. O tamanho desse número desafia a imaginação: tem 2 098 960 dígitos e é o maior número primo conhecido. Primos de Mersenne constituem uma área de pesquisa matemática ainda em franca atividade. Desde 1995 há um endereço na Internet

(  http:www.mersenne.org/prime.htm  )

com informações sobre esses primos e software específico para a busca de novos primos de Mersenne. Dezenas de especialistas e milhares de amadores têm participado desse esforço conjunto que levou à descoberta dos quatro últimos primos de Mersenne.

Se o conjunto dos primos de Mersenne for infinito, então o conjunto de números perfeitos pares também será infinito. Uma das conjecturas mais antigas da Matemática, que ainda está em aberto, diz que não existem números perfeitos ímpares.

Números amigos são os que têm ciclo de comprimento 2, como foi visto para o par ,  que é o menor par de números amigos conhecido. Presume-se, também, que existam infinitos pares de números amigos. Abaixo, damos alguns desses pares:

Euler publicou um estudo sobre esses números em 1750, apresentando uma lista de 60 pares de números amigos. Curiosamente não figura na lista o segundo menor par  ,  que só foi descoberto em 1866 por um rapaz de 16 anos chamado Paganini (Brina Bolt).

Os números com ciclos maiores que 2 recebem o nome de sociáveis. O ataque sobre essa rapaziada tem sido feito via computador. A seguir dois sociáveis de comprimento  5  e  9, respectivamente, para que os prezados colegas pensem sobre eles:  12 496  e  805984760.

Referências bibliográficas

[1] Costello, P. Amicable pairs of the form , Math. Comp. 56, págs. 859-865,  1991.

[2] Riele, H.J.J. Computation of all the amicable pairs below 10, Math. Comp. 47, págs. 361-368, 1986.

[3] Riele, H.J.J. A list of amicable pairs with smaller member between 10 10 10 and 2*10, computed by H.J.J. te Riele in 1990 and privately communicated on Dec. 9,1991.

[4] Riele, H.J.J. A list of amicable pairs collected by H.J.J. te Riele, containing pairs found by Lee, Garcia, Costello, and te Riele, and privately communicated on Jan. 28, 1992.

[5] Domingues, H.H. Fundamentos de Aritmética. Editora Atual, 1991.

Há alguns anos, quando ainda existia a União Soviética, submeteu-se aos participantes de uma Olimpíada Juvenil de Matemática a seguinte questão, aparentemente simples:

Fatorar a expressão 

Mesmo bons professores de Matemática, se não conhecerem algum truque, terão dificuldade em resolver esse problema pelo método direto. Quem duvidar, que o tente.

Entretanto, a teoria dos determinantes dá uma solução fulminante ao problema. Vejamos: seja o determinante

,

exatamente a expressão que desejamos fatorar.

O determinante não se altera se substituímos, por exemplo, a primeira linha da matriz por sua soma com as duas outras, ou seja

e o problema foi resolvido.

Muitos realmente, são os caminhos da Matemática e precisamos ter a mente aberta e desbloqueada para   encontrá-los.

Gilberto Garbi