Você pode deduzir uma propriedade similar para os naturais associados à letra  C: são aqueles que divididos por  6  deixam resto  2.

Como os restos possíveis de se obterem quando se divide por  6  são  0, 1, 2, 3, 4, ou  5,  cada número natural fica associado a uma e uma só letra e para determinar essa letra dividimos o número por  6  e nos fixamos no resto obtido. Com esse critério podemos classificar os naturais no que chamaremos  classes módulo 6,  pondo na mesma classe todos os naturais que deixam o mesmo resto quando divididos por  6.  Usaremos o resto para denominar essas classes:

Vejamos o que entendemos por soma e multiplicação de classes. Para obter a soma de duas classes tomamos um elemento de cada classe e os somamos. O resultado da soma das classes será a classe à qual pertence a soma dos dois elementos. Por exemplo, para somar a classe do  1  e a classe do  5,  podemos escolher o  7 (da classe do 1) e o  11 (da classe do 5); a soma    pertence à classe do  0. Logo, a soma das classes do  1  e do  5  é a classe do  0.

E se escolhermos outros elementos das classes a serem somadas? Mudará o resultado? É possível demonstrar que, sempre que somamos um elemento da classe do  1  com um elemento da classe do  5,  obtemos um elemento da classe do  0 (tente verificar). Para trabalhar de forma mais ágil, não mais usaremos a palavra classe no nome de cada classe e as chamaremos simplesmente  0,  1,  2,  3,  4  e  5  e indicaremos a soma anterior assim: 

Para multiplicar classes procedemos de forma análoga. Para determinar o produto de duas classes escolhemos um elemento em cada uma das classes e efetuamos o produto desses elementos. A classe à qual pertence o produto dos dois elementos será o resultado do produto das classes. Por exemplo, para multiplicar a classe do  2  pela classe do  5,  podemos escolher  8  da classe do  2  e  17  da classe do  5,  obtendo o produto  ,  que pertence à classe do  4.  Logo, fazendo a mesma convenção adotada na soma, podemos escrever: Também aqui é possível demonstrar que se escolhermos outros elementos nas classes a serem multiplicadas, o resultado final não muda.

Encontramos  nessa  tabela  algo  surpreendente.  Existem  elementos  como  2  e  3  tais que  2 3 = 0. Nos conjuntos numéricos que você conhece, como o dos naturais, o dos inteiros ou dos racionais, para que o produto de dois fatores seja zero pelo menos um deles deve ser zero. Na estrutura das classes, essa propriedade não é verdadeira.

Se desejamos resolver a equação

3 x = 0

teremos no conjunto dos naturais o conjunto solução ;  no conjunto das classes módulo  6,  uma olhada na tabela dos produtos nos fornece o conjunto solução  .

Propomo-nos agora a resolver, no conjunto das classes módulo  6,  a equação  4xx=4x1.  Podemos cancelar o  4  em ambos os membros da equação e concluir que  x=1?  Olhando para a tabela do produto, veríamos que estaríamos perdendo a solução x = 4.  Portanto, também não vale a propriedade “cancelativa” da multiplicação, e o conjunto solução da equação dada é  S = {1,4}.

Como pudemos ver através dos exemplos, algumas propriedades que estamos habituados a usar e aplicar em outros conjuntos numéricos não são válidas no conjunto das classes módulo  6  com as operações definidas. Isso nos leva a pensar que não podemos falar de verdades absolutas, mas sim de relativas, pois estas dependem das condições impostas e das regras que aceitamos como válidas.

Para continuar pensando, vocês estão convidados a resolver o problema:

A empresa distribuidora da água mineral Fresquinha dividiu a cidade de São Paulo em  164  zonas para poder realizar pontualmente a entrega semanal da água nas residências.

Verifique em que dia da semana:

a)    a zona  164  recebe a água,

b)   se visita menor quantidade de zonas,

c)    se visita uma única zona com número primo,

d)   se visitam mais zonas cujos números sejam quadrados perfeitos.