Lenimar Nunes de Andrade João Pessoa, PB      1.  Introdução   Quadrados mágicos têm intrigado matemáticos, cientistas e curiosos por séculos. O exemplo conhecido mais antigo é o Loh-Shu, encontrado na China. Trata-se de um quadrado mágico de ordem 3 que data de 2.850 a.C. Nele, os números ímpares são representados por bolinhas brancas e os pares por bolinhas pretas. Uma abordagem algébrica Um quadrado mágico de ordem  n  pode ser definido como sendo uma matriz  onde os elementos  pertencem ao subconjunto de  IN   , são dois a dois distintos e a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna e de qualquer uma das duas diagonais é igual a uma constante  M. A constante  M  pode ser facilmente calculada em função de  n.  Para isso, basta observar que a soma das  n  linhas da matriz é igual a  .  Por outro lado, essa soma é igual a . Vamos descobrir a forma geral de um quadrado mágico de ordem 3:   a b c d e f g h i Resolvendo o sistema linear formado pelas igualdades das somas de linhas, colunas e diagonais e escolhendo  a  e  b  como variáveis livres, chegamos à conclusão, que um quadrado mágico de ordem 3 tem o seguinte aspecto: a b 5 À primeira vista pode parecer que há uma infinidade de quadrados mágicos de ordem 3, bastando para isso atribuirmos valores inteiros às variáveis  a  e  b.  Mas isso deve ser feito levando em conta que os valores obtidos devem ser inteiros não repetidos no intervalo  .  Por isso,    pode assumir apenas os valores , , , , , , ,  ou  ,  fornecendo os quadrados: 2 7 6 9 5 1 4 3 8 2 9 4 7 5 3 6 1 8 4 3 8 9 5 1 2 7 6 4 9 2 3 5 7 8 1 6 8 3 4 1 5 9 6 7 2 Cada um desses oito quadrados pode ser obtido a partir de qualquer um dos outros através de operações de troca de linhas, troca de colunas ou transposição de matrizes. Nesse caso, dizemos que os quadrados são idênticos e que existe um único quadrado mágico de ordem 3.          2.  Como construir quadrados mágicos de qualquer ordem   As técnicas de construção de quadrados mágicos são divididas em três classes. Existem técnicas específicas para quadrados mágicos de ordem ímpar, outras para os de ordem par e não múltipla de 4 e outras para os de ordem múltipla de 4.   2.1  Quadrados mágicos de ordem ímpar Uma das técnicas mais conhecidas para construção de quadrados mágicos de ordem ímpar é o método de Kraitchik (1942). Esse método está descrito na RPM 39, na segunda metade da página 20.   2.2  Quadrados mágicos de ordem  n  par e não múltipla de 4 Uma técnica simples para construção desse tipo de quadrado é conhecida como técnica de Conway ou método “LUX”. Se , , escrevemos uma matriz auxiliar de ordem  formada por    linhas de  L,  1  linha de  U  e    linhas de  X  (veja o exemplo abaixo para o quadrado  , , no qual temos 3  linhas de   L,  1  linha de  U  e  1  linha de  X).  Troque o  U  do meio pelo  L  logo acima dele. Supondo cada letra  L,  U  ou  X  no centro de um quadrado , preencha cada um desses quadrados com números do seguinte modo:     distribua os inteiros de 1  a     de  4  em  4 , levando em consideração o formato de cada letra (veja no exemplo o quadrado   ,   );     a ordem de escolha das letras para se fazer a distribuição dos números é a do quadrado de ordem  gerado pela técnica de Kraitchik descrita na RPM 39 (no caso do exemplo é o quadrado  da direita).     L L L L L L L L L L L L L L L U U U U U X X X X X L L L L L L L L L L L L U L L U U L U U X X X X X 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 68 65 96 93 4 1 32 29 60 57 L L L L L 66 67 94 95 2 3 30 31 58 59 92 89 20 17 28 25 56 53 64 61 L L L L L 90 91 18 19 26 27 54 55 62 63 16 13 24 21 49 52 80 77 88 85 L L U L L 14 15 22 23 50 51 78 79 86 87 37 40 45 48 76 73 81 84 9 12 U U L U U 38 39 46 47 74 75 82 83 10 11 41 44 69 72 97 100 5 8  33 36   X X X X X 43 42 71 70 99 98 7 6 35 34      3.      Quadrados mágicos de ordem múltipla de 4   Os quadrados mágicos com ordens  n  múltiplas de 4 são os de construção mais fácil. Basta preencher a primeira linha com inteiros de 1 a  n,  a segunda linha de    a    e assim por diante, até preencher a última linha com os inteiros de    a  . Depois, subdividir o quadrado    em    quadrados    e, para cada um desses quadrados menores, trocar os elementos    de suas duas diagonais por  .  Veja exemplos para   e .          4.  Quantidade de quadrados mágicos   Em geral, é um problema ainda não resolvido o cálculo da quantidade de quadrados mágicos de uma determinada ordem. Só são conhecidas as quantidades de quadrados mágicos de ordens menores do que 6. Estima-se que existam cerca de  quadrados mágicos de ordem 6. Ordem No de quadrados mágicos 3 1 4 880 5 275.305.224 ?

5.      Quadrados mágicos interessantes   Veja dois exemplos de quadrados mágicos formados só por números primos: 3 61 19 37 43 31 5 41 7 11 73 29 67 17 23 13 17 79 101 43 73 13 113 89 61 37 109 19 41 47 97 107 71 53 59 23 67 31 29 103 83 Referências: Apesar de existirem muitos livros de Matemática recreativa sobre quadrados mágicos, as informações aqui utilizadas foram obtidas via Internet. Existem dezenas de endereços na rede mundial sobre esse assunto. Dois deles, situados no Japão e nos Estados Unidos, respectivamente, são:   http://www.pse.che.tohoku.ac.jp/~msuzuki/MagicSquare.html  e http://forum.swarthmore.edu/alejandre/magic.square.html.   O quadrado do cavalo (enviado por Andréa Zander Vaiano, Niterói, RJ) O matemático do século XVIII Leonard Euler construiu o quadrado no qual cada linha horizontal ou vertical soma 260; até o meio de cada uma a soma é 130. 48 31 50 33 16 63 18 51 46 3 62 19 14 35 49 32 15 34 17 64 52 29 4 45 20 36 13 5 44 25 56 9 28 53 24 57 12 37 43 6 55 39 10 59 22 54 27 42 58 23 38 11 Mais interessante, porém, é que um cavalo (do jogo de xadrez), começando seu movimento em L a partir da casa 1, pode percorrer todas as 64 casas na ordem numérica.