Sérgio Alves
IME - USP

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RPM - O leitor pergunta
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    Um leitor de Maceió, AL, nos faz a seguinte pergunta: “Como justificar a regra do falso, usada pelos egípcios para resolver certas equações?”. E nos manda um exemplo de solução por esse método:

seguida, a solução falsa é usada para escrever uma regra de três,  

de  x  que tem imagem igual a  7,  sabendo-se que a imagem de  10  é igual a  55.  A regra de três funciona, pois a razão entre os valores de  x  e suas imagens, através dessa   

 

     Um leitor de Fortaleza, CE, nos pede a solução do seguinte problema: “Por um dos vértices de um paralelogramo, traçar duas retas que o dividam em três regiões de mesma área”.

RPM:

Dado um paralelogramo  ABCD,  sabemos que a diagonal    o divide em dois triângulos de mesma área, logo,

 

Sendo  X  e  Y  pontos do lado    tais que  DX = XY = YC, obtemos triângulos  ADX,  AXY  e  AYC  com mesma área, pois suas bases são congruentes e têm mesma altura.

Analogamente, sendo  M  e  N  pontos do lado    tais que  ,  temos:

retas  AY   e  AM   solucionam o problema proposto.

 

     Um leitor de Brasília, DF, nos pergunta como resolver a equação  .

RPM:

Pode-se perceber que    é uma solução dessa equação. Resta saber se existe alguma outra solução.

 

 

Como a equação também pode ser escrita  , podemos olhar para os gráficos das funções  y = x2 - 18e y = , desenhados ao lado, e procurar os pontos de encontro.

Desse modo verifica-se que há apenas uma solução (real) da equação. Logo, a solução encontrada é única.

 

     Um leitor de São Paulo, SP, sabe que o par x = 3 e  y = 2 é solução do sistema 

RPM:

Substituindo  y = 11 x2  na segunda equação, obtemos  x4 22x2 + x + 114 = 0.

Como as possíveis raízes inteiras dessa última equação estão entre os divisores de  114, obtemos, por tentativa,    como uma raiz.

 

 

 
No entanto, observando as parábolas de equações    e    desenhadas ao lado, vemos que o sistema possui mais três pares de soluções. Quais são?

 

 


Respostas dos probleminhas